공간도형과 벡터

본문내용

구의 벡터방정식은
☞ 원과 구의 벡터방정식은 일치한다. but,
좌표상태에서의 방정식에서는 구별할 것.
(ii) 두 점 의 위치벡터를 각각
라 할 때, 두 점 를 지름의 양끝
으로 하는 원의 벡터 방정식은
20. 평면의 방정식
(i) 점 을 지나고,
벡터 에 수직인 평면
㉠ 벡터방정식
라 하면
㉡ 좌표공간에서의 방정식
(ii) 세 점을 지나는 평면의 방정식
,,
(iii) 원점 에서 거리가 (양수)이고,
법선 단위벡터 인 평면의
방정식은
☞ 앞 식을 평면의 방정식의 표준형이라
하며 원점과의 거리문제에 자주 등장하는
식이다. 반드시 일반형과 호환관계를 알아 두어야 하며, 그 방법은 다음과 같다.
일반형 의 양변을
으로 나누고, 이 때의 우
변이 양이 되도록 하면 표준형이 된다.
즉, 좌변의 계수가 음수여도 무관!!!
21. 두 평면의 위치관계
평면 의 법선벡터가 ,
평면 의 법선벡터가 일 때,
㉠ 평행 ⇔
㉡ 수직 ⇔
㉢ 교각 () ⇔
22. 한 점과 평면 사이의 거리
점 과
평면 사이의 거리
23. 구의 접평면
구 의 접평면은
이다.
<공간도형과 벡터에 관한 몇 가지 문제>
1. 공간에 네 점과 한 점에서 만나는 세 직
선이 있다. 어느 세 점도 동일 직선 위에는
없고, 세 직선도 동일 평면 위에는 없다고
할 때, 이들 점과 직선들로 결정되는 평면
의 개수의 최대값을 구하여라.
(해) (i) 점들만으로 결정되는 평면의 수는
(ii) 직선들만으로 결정되는 평면의 수는
(iii) 점과 직선으로 결정되는 평면의 수는
∴ 19개
2. 그림에서 두 평면
α,β는 수직이고,
,는 각각
α,β위에 있다.
,
일 때, 의 크기는?
(해) 위의 한 점 에서 에 수선
를 내리고, 에서 에 수선 을
각각 내리면 삼수선의 정리에 의하여
이다. 라 하면
,,
따라서 에서
∴ ∴
3. , ,
일 때, 세 점 는
한 직선 위에 있다고 한다. 벡터 와 가
평행이 아니고, 각각 영벡터가 아닐 때,
실수 의 값을 구하여라.
(해) 세 점 가 한 직선 위에 있을
조건은 이고,
∴
즉,
가 평행이 아니므로
∴
4. 에서 변 의 중점을 , 변
의 삼등분점 중에서 에 가까운 점을
이라 하고, 선분 의 교점을
라 한다. ,라 할 때,
를 로 나타내어라.
(해) 삼각형을 두 개로 분류하여 연관성을
지어 본다.
에서 으로
놓으면
또, 에서 으로
놓으면
이 두 식으로부터
는 가 아니고 평행이 아니므로
∴
5. 점 가
있다.
(1) 를 와 를 써서 나타내어라.
(2) 직선 와 직선 와의 교점을 라
할 때, 를 와 로 나타내어라.
(3) 가 직선 위의 점이고, 가
에 평행할 때, 를 와 로
나타내어라.
(해) (1) 로 놓으면
이므로
(2) 는 직선 위의 점이므로
(1)의 결과를 이용하면
에서 는
동일직선 위의 점이므로
∴
(3) 로 놓을 수 있으므로
이 때, 이므로 는 의
실수배이다. 즉,
∴
6. 이고, ,,
일 때, 벡터 가 이루는 각의
크기를 구하여라.
(해) 에서
이고,
즉, 이므로
7. 에 대하여
이고, 일 때, 는?
(해) 즉,
∴
에서 이므로
, ∴
8. 이 주어
지고 원점에서 의 평면 π에 내린
수선의 발을 라 할 때, 와 같은
방향의 단위벡터를 구하여라.
(해) 라면
이고, 이므로,
∴
9. 평면 위의 세 점 가 있다. 가
의 범위에서 움직일 때,
를 만족시키는
점 의 자취를 구하여라.
(해) 준 식에서 일 때,
일 때,
∴ 점 의 자취는 선분 이다. 만약,
의 조건이 없다면 직선 가 된다.
10. 인
의 무게중심을 라 한다. ,
라 할 때, 직선 의 벡터
방정식을 구하여라.
(해)
위의 임의의 점을 라 하고, 그
위치벡터를 라 하면
∴
☞ 벡터방정식과 직선방정식의 비교
에서 는 단위
벡터이므로 라 놓으면
∴를 소거하면
11. 세 점 는 정점이고 는 동점
이다. , , 일 때,
는 어떤 선분을
지름으로 하는 원인가?
(해) 의 중점을 이라 하면
이고,
∴
∴ 동점 의 자취는 중심이 , 지름이
인 원이다.
12. 를 정점, 중심이 , 반지름이 인
원둘레 위에 있는 점을 라 하고, 를
로 내분하는 점을 라 한다. 점 가
이 원둘레 위를 움직일 때, 점 의 자취를
구하여라.
(해) … (i)
에서 … (ii)
(i), (ii)에서
∴
13. 직선 가 구면
에 의하여
잘려지는 선분의 길이는?
(해) 두 교점을 라
하면
즉, 준 직선식에서 를
구면의 식에 대입하면
그리고, ,
∴
∴ ∴

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