수학의 패러독스

본문내용

선물을 하고 싶은데 그냥 주면 재미가 없잖아? 이런 게임을 하자구. 저 건물에 세 개의 문이 있지? 그중 한 문 뒤에는 멋진 고급승용차가 있고 나머지 문들 뒤에는 자전거가 있다구. 자네가 선택한 문 뒤에 있는 선물을 주도록 하지. 마릴린이 그중 하나를 고르자 몬티가 새로운 제안을 해왔다. 그걸 골랐나? 내 당신에게 한번의 기회를 더주지. 내가 남은 두 개의 문들 중 자전거가 있는 문을 열지. 그리고나서 원래의 선택을 고수하든지 아니면 나머지 하나로 선택을 바꿔도 되네. 마릴린은 원래 선택한 문과 남은 문 하나중 선택할 권리가 있는 것이다. 과연 그렇다면 자동차를 받기위해선 원래대로 고집하는게 나을까, 아니면 선택을 바꾸는 편이 나을까. 과연 몬티는 더 나은 기회를 준 것인가?
여러분이 이런 상황이라면 어떤 선택을 할까? 수학적으로 풀어보자.
①당연히 남은 문은 두개뿐이니 바꾸거나 바꾸지 않거나 50:50의 확률로 같은 확률이니까 아무 렇게나 정한다.
② 선택을 바꾸는게 탈 확률이 더 높다.
③선택을 바꾸지 않는 편이 더 높다.
답은 ②번이다. 확률론적으로 원래 선택한 문이 아닌 남은 문을 선택할 경우 자동차를 탈 확률이 더 높다. 같이 한 번 풀어보자.
A, B, C 세 개의 문중 마릴린이 A를 선택했다고 가정하자. 그럼 A나 B, 또는 C문 뒤에 자동차가 있을 수 있는데 각각의 경우 몬티가 B를 열 확률은
이때 우리가 구하고 싶은 확률은 몬티가 B를 열었다고 가정하고 A를 그대로 취할 때 자동차를 선택할 확률 P(A|monB)과 C로 바꿨을 경우 자동차를 받게 될 확률 P(C|monB)이다. 그런데 조건부확률의 정의에 의해서
결과적으로 처음 선택한 문보다는 몬티가 제외시키고 난 나머지 문을 선택하는게 더 유리하다.만약 아무런 변화없이 세 개의 문중 하나만을 선택한다면 자동차를 탈 확률은 ⅓이지만 몬티가 한 번의 기회를 더 주면 선택을 바꿔 그 확률을⅔로 2배가 되게 할 수 있는 것이다. 몬티-홀 문제는 4개의 문으로 확장시킬 수도 있다. 4개의 문 중 한 개의 문 뒤에 금괴가 있고 나머지 문뒤에는 아무것도 없다고 하자. 이때 같은 방법으로 하나의 문을 선택하고 나머지 문들 중 아무것도 없는 문을 열어준다. 그러면 닫힌 문 세 개 중 하나를 선택하게 하고 다음은 세개의 경우처럼 하면 된다. 결과는 마찬가지로 선택을 계속 바꾸는 것이 더 유리하다. 일반적으로 n개의 문의 몬티-홀 문제를 풀때, 각 단계의 선택을 바꿔서 금괴를 얻어낼 확률은
보다 크다고 한다.
이상에서 살펴본 것들 외에도 많은 패러독스들이 있다. 아직 미해결인 패러독스들을 푸는 몫이 여러분들에게 열려져 있다. 혹시 놀라운 발견을 하게 되지 않을까.
호텔 패러독스 1백개의 방을 가진 호텔이 있다. 한참 휴가철이라 빈방이 하나도 없고 다 차있다. 새 손님이 도착해 방을 요구하자 지배인이 죄송합니다. 빈방이 없네요라고 답했다. 그래서 옆호텔로 갔는데 무한개의 방을 갖고 있는 호텔이었다. 이 호텔도 모든 방이 다 차있다. 여기에 도착해 방을 요구하자 지배인은 물론 드리죠. 잠시만 기다려주십시오라고 말하고는 1호실 손님을 2호실로, 2호실 손님은 3호실로, 3호실 손님은 4호실로… 옮기는 작업을 하고는 1호실을 내주었다. 자 이번에는 무한개의 방을 갖고 있는 호텔에 무한명의 손님이 찾아왔다고 가정해보자. 손님들 모두에게 방을 내줄 수 있을까?
물론 모두 이 호텔에 머물 수 있다. 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 4호실로, 3호실 손님은 6호실로… 옮겼다. 그러고 나자 홀수호실이 모두 비게 됐고 새로 찾아온 손님들 모두에게 1호실, 3호실, 5호실,… 순으로 방을 줄 수 있었다.

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