해석학이론 정리

목차

♣ 자연수의 정렬성
♣ 완비성 공리
♣ 수열의 극한
♣ 단조수열
♣ 부분수열
♣ Cauchy 수열
♣ 함수의 극한
♣ 함수의 유계
♣ 평등연속
♣ 함수의 미분
♣ 함수이 극값
♣ 고계도함수
♣ 중요한 Taylor 급수
♣ Riemann 적분
♣ Riemann 합
♣ 측도 인 집합
♣ 이상적분
♣ 이상적분
♣ Riemann-Stieltjes 적분
♣ 점별수렴
♣ 평등수렴
♣ 함수항급수
♣ 무한급수
♣ 멱급수

본문내용

구하기 위해서 를 고정하면 함수열 은 하나의 수열이 된다.
♣ 평등수렴
이고 위에서 정의된 함수열 과 함수 에 대하여 명제 “임의의 에 대하여 적당한 자연수 가 존재하여 인 모든 자연수 과 모든 에 대하여 을 만족한다.”가 성립하면 함수열 은 위에서 로 평등수렴(uniform convergence)한다고 하고 로 나타낸다. 또한, 함수열 은 위에서 로 평등수렴하지 않을 필요충분조건은 명제 “적당한 에 대하여 의 부분함수열 과 에서의 수열 가 존재하여 모든 자연수 에 대하여 을 만족한다.”을 만족하는 것이다.
[정리059] 평등수렴
이고 위에서 정의된 함수열 의 극한함수를 라 하자. 함수열 이 위에서 로 평등수렴하기 위한 필요충분조건은 모든 자연수 에 대하여,
라 할 때, 이 성립하는 것이다.
[정리060] Cauchy 판정법
이고 위에서 정의된 함수열 에 대하여 함수열 이 위에서 평등수렴하기 위한 필요충분조건은 명제 “임의의 에 대하여 적당한 자연수 가 존재해서 인 모든 자연수 과 모든 에 대하여, 를 만족한다.”를 만족하는 것이다.
[정리061] Cauchy 판정법
이고 위에서 정의된 함수항급수 에 대하여 가 위에서 평등수렴하기 위한 필요충분조건은 명제 “임의의 에 대하여 적당한 자연수 가 존재해서 인 모든 자연수 과 모든 에 대하여, 를 만족한다.”를 만족하는 것이다.
♣ 함수항급수
이고 위에서 정의된 함수열 에 대하여,
을 위에서 정의된 함수항급수라 한다. 각 자연수 에 대하여 을
로 정의할 때, 함수열 을 의 부분합의 함수열이라 한다. 함수열 이 위에서 함수 로 점별수렴하면 함수항급수 은 위에서 점별수렴한다고 한다. 또한, 위에서 이면 함수항급수 가 위에서 평등수렴한다고 한다.
[정리062] Weierstrass -판정법
이고 위에서 정의된 함수열 에 대하여, 모든 자연수 과 모든 에 대해, 이고 급수 이 수렴하면 함수항급수 는 위에서 평등수렴한다.
은 를 포함하지 않는 만의 함수임을 주의해야 한다. 그리고 주어진 정리는 평등수렴하기위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.
[정리063] 평등수렴과 연속
이고 위에서 정의된 연속함수열 이 위에서 극한함수 에 평등수렴하면 는 위에서 연속이다. 또한 함수항급수 이 위에서 평등수렴하면 은 위에서 연속이다.
위 정리에 의해 극한함수가 불연속함수인 경우, 주어진 함수열이 연속이면 평등수렴하지 않는다는 것을 알 수 있다.
[정리064] Weierstrass 근사정리
함수 가 위에서 연속이면 적당한 다항함수열 가 존재하여 위에서 로 평등수렴한다.
[정리065] 평등수렴과 미분
구간 위에서 정의된 미분가능함수열 이 조건
⑴ 어떤 점 에 대하여 가 수렴한다.
⑵ 함수열 가 위에서 어떤 함수에 평등수렴을 만족하면 다음이 성립한다.
① 함수열 은 위에서 어떤 함수 에 평등수렴한다.
② 는 위에서 미분가능하며, 모든 에 대하여가 성립한다.
[정리066] 함수항급수의 평등수렴과 미분
구간 위에서 정의된 미분가능함수열 에 대하여 함수항급수 이 조건
⑴ 어떤 점 에 대하여 가 수렴한다.
⑵ 함수항급수 이 위에서 평등수렴을 만족하면 다음이 성립한다.
① 함수항급수 은 위에서 어떤 함수 에 평등수렴한다.
② 는 위에서 미분가능하며, 위에서가 성립한다.
[정리067] 평등수렴과 적분
구간 위에서 Riemann 적분가능한 함수열 이 위에서 극한함수 에 평등수렴하면 는 위에서 Riemann 적분가능하고 다음이 성립한다.
[정리068] 함수항급수의 평등수렴과 적분
구간 위에서 Riemann 적분가능한 함수열 에 대한 함수항급수 이 위에서 평등수렴하면 는 위에서 Riemann 적분가능하고 다음이 성립한다.
♣ 무한급수
수열 에 대하여, 을 무한급수 또는 간단히 급수라 한다. 각 자연수 에 대하여, 로 정의할 때, 수열 을 의 부분합의 수열이라 한다. 수열 이 실수 로 수렴하면 급수 은 수렴한다고 말하고, 가 된다.
[정리069] Cauchy 판정법
급수 이 수렴하기 위한 필요충분조건은 명제 “임의의 에 대하여 적당한 자연수 가 존재해서 인 모든 자연수 에 대하여, 를 만족한다.”를 만족하는 것이다.
[정리070] 일반항 판정법
급수 이 수렴하면 을 만족한다.
위 정리의 대우명제를 이용하여 급수의 수렴성을 조사한다. 즉, 일반항의 극한이 이 아니면 주어진 급수는 발산함을 알 수 있다.
[정리071] 적분판정법
는 에서 연속이고, 단조감소인 양의 함수일 때, 모든 자연수 에 대하여 이라 하자. 급수 이 수렴하기 위한 필요충분조건은 이상적분 가 수렴하는 것이다.
[정리072] -급수 판정법
급수 에 대하여 다음이 성립한다.
⑴ 이면 급수 이 수렴한다.
⑵ 이면 급수 이 발산한다.
[정리073] 비교판정법
급수 과 에 있어서, 적당한 자연수 가 존재하여 인 모든 자연수 에 대하여, 이 성립하면 다음이 성립한다.
⑴ 급수 이 수렴하면 급수 이 수렴한다.
⑵ 급수 이 발산하면 급수 이 발산한다.
위 부등식이 첫 항부터 성립하지 않더라도 적용할 수 있음에 주의한다.
[정리074] 극한 비교판정법
양항급수 과 에 있어서, 일 때,
⑴ 이면 급수이 수렴하기 위한 필요충분조건은 급수이 수렴하는 것이다.
⑵ 이면 급수이 수렴하면 급수 은 수렴한다.
[정리075] 근호판정법
급수 에 있어서, 일 때,
⑴ 이면 급수은 수렴하고,⑵ 이면 급수은 발산한다.
⑶ 이면 판정이 불가능하다.
[정리076] 비판정법
급수 에 있어서, 일 때,
⑴ 이면 급수은 수렴하고,⑵ 이면 급수은 발산한다.
⑶ 이면 판정이 불가능하다.
[정리077] 교대급수판정법
교대급수 에 대하여 조건
⑴ ⑵
을 만족하면 교대급수 은 수렴한다.
♣ 멱급수
수열 과 실수 에 대하여, 함수항급수 를 에 관한 멱급수(power series)라 한다. 또한, 멱급수 에 대하여, 라 할 때,
를 멱급수 의 수렴반경(radius of convergence)이라 한다.
[정리078] 멱급수
멱급수 의 수렴반경이 이고 이라 할 때, 다음이 성립한다.
⑴ 는 위에서 연속이다.
⑵ 는 위에서 미분가능하고 모든 에 대하여 이 성립한다.
⑶ 는 임의의 구간 에서 Riemann 적분가능하고 모든 에 대하여 이 성립한다.

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