[과외]고등 수학 예상문제 III-1.이차방정식

목차

없음

본문내용

두 근은 이다.
라) 가 허근이면 이다.
마) 이다.
① 가 ② 라 ③가, 다 ④ 나, 다
⑤ 나, 라, 마
52. 가 삼각형의 세 변의 길이를 나타낸다. 다음 이차식이 의 완전제곱식일 때, 이 삼각형의 꼴은 무엇인가?
① 정삼각형 ② 이등변삼각형
③ 직각삼각형 ④ 둔각삼각형
⑤ 예각삼각형
53. 차가 3인 두 양수 가 있다. 이 두 수의 곱이 두 수의 합의 3배보다 1만큼 크다고 할 때, 의 값을 구하면? (단, ) (중)
① 39 ② 27 ③ 15 ④ -27 ⑤ -39
54. 집합
일 때 상수 의 값은? (중)
① 3 ② 2 ③ 0 ④ -2 ⑤ -3
55. 을 만족시키는 양수 가 을 만족시킬 때 유리수 에 대하여 의 값은? (상)
① -5 ② -3 ③ 0 ④ 3 ⑤ 5
56. 에 대한 일차방정식
의 해가 무수히 많을 때, 의 값을 구하여라. (하)
① ② ③
④ 인 모든 실수 ⑤
공통수학
Ⅲ.방정식과 부등식
57. 0이 아닌 실수 에 대하여,
등식 이 성립할 때, 순서쌍 의 개수는? (상)
① 없다. ② 1개 ③ 2개 ④ 3개 ⑤ 4개
58. 이차항의 계수가 1인 두 이차방정식 에 대하여,
두 집합,
이 있다.
일 때, 의 값은? (상)
59. 이차 방정식 의 두 근을 라 할 때, 를 만족시킨다. 이 때 방정식 의 두 근의 합은? (중)
① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7
60. 임의의 실수 에 대하여,
가 성립할 때, 의 값을 구하면? (중)
① 1 ② ③ -1 ④ ⑤ 0
61. 가로의 길이가 세로의 길이의 두 배인 직사각형의 두꺼운 종이가 있다. 이 직사각형의 네 모퉁이에서 그림과 같이 한변의 길이가 5cm인 정사각형을 잘라내고 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다. 상자의 부피가 1500㎤일 때, 처음 직사각형의 넓이는? (중)
5
① 200㎠ ② 400㎠ ③ 600㎠
④ 800㎠ ⑤ 1000㎠
62. 이차방정식
이 한 실근과 한 허근을 가질 때 두근의 곱은? (단, ) (상)
63. 에 관한 이차 방정식
의 두 근이 정수일 때, 정수 의 값을 구하여라. (중)
공통수학
Ⅲ.방정식과 부등식
64. 방정식 (단, 는 실수)을 만족시키는 실수 의 순서쌍에 대한 보기 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (중)
<보기>
I. 이면, 순서쌍는 유한개 존재한다.
II. 이면, 순서쌍는 오직 1개 존재한다.
III. 이면, 순서쌍는 무수히 많다.
① I ② II, III ③ I, II
④ I, II, III ⑤ I, III
65. 의 두 근의 절대값은 같고, 부호는 서로 다를 때, 상수 의 값을 구하면? ( 중)
① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2
66. 에 대한 이차방정식
이 의 값에 관계없이 중근을 가질 때, 의 값은? (단, 는 상수) (중)
① 1 ② 2 ③ 4 ④ 6 ⑤ 8
67. 의 해를 모두 구하면? (하)
68. 이차방정식 의 실근이 , 2이고, 의 실근이 , -5일 때, 의 값을 구하면? (중)
① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10
69. 연립방정식 의 해가 실수가 되도록 상수 의 범위를 구할 때, 의 최대값은 얼마인가? ( 중)
70. 의 이차방정식 이 서로 다른 부호의 실근을 갖고, 음근의 절대값이 양근보다 크게 되는 정수 의 개수는? (중)
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5
공통수학
Ⅲ.방정식과 부등식
71. 에 대한 3개의 이차방정식
, ,
(는 실수)에 대하여 다음은 (가)를 증명한 것이다. (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은? (중)
<증명>
만약 (나)라고 하면 (다) 0,
(다) 0, (다) 0,
변변을 더하면
(다) 0
는 실수이므로 모순. 따라서 (가)
① 적어도 하나는 실근을 갖는다. 세 개 모두 허근을 갖는다. <
② 적어도 하나는 실근을 갖는다. 세 개 모두 실근을 갖는다.
③ 적어도 하나는 허근을 갖는다. 세 개 모두 허근을 갖는다. <
④ 적어도 하나는 허근을 갖는다. 세 개 모두 실근을 갖는다.
⑤ 세 개 모두 실근을 갖는다. 세 개 모두 허근을 갖는다. <
72. 의 이차방정식 의 두 실근이 이고, 는 , 를 만족한다. 이 때, 의 값을 구하시오. (상)
73. 이차방정식 의 한 근이 1일 때 다른 한 근은? (단, 은 상수) (하)
① 3 ② 2 ③ 0 ④ -1 ⑤ -3
74. 이차방정식 의 두 근을 라 할 때, 의 값은? (하)
① 1 ② 3 ③ 4 ④ 8 ⑤ 11
75. 이차방정식 의 두 근을 라고 할 때, 를 만족하는 는? (중)
① ② ③
④ ⑤
76. 방정식 의 모든 근의 합이 0일 때 상수 의 값은? (중)
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5
공통수학
Ⅲ.방정식과 부등식
77. 방정식 의 한 근이 일 때, 두 실수 의 곱 의 값을 구하시오. (하)
78. 다음은 ‘가 짝수, 가 홀수이면 방정식 은 정수근을 갖지 않는다.’는 것을 증명한 것이다.
<증명>
가 (가)이면 은 (가)이고 는 짝수이다.
따라서 가 (가)가 되므로 (나)이 될 수 없다.
가 (다)이면 는 4의 배수이고 는 4의 배수가 아니다.
그런데 (라)이므로 모순이다.
따라서, 이 방정식은 정수근을 갖지 않는다.
위의 증명에서 (가)～(라)에 알맞은 것은?
(가) (나) (다) (라)
① 짝수 0 홀수
② 짝수 이차식 홀수 는 짝수
③ 정수 0 짝수
④ 홀수 이차식 짝수 는 짝수
⑤ 홀수 0 짝수
79. 와 는 서로 다른 두 정수이고 다항식 는 다음 두 성질 (A)와 (B)를 갖는다.
(A) 의 모든 계수는 정수이다.
(B)
다음 증명은 위의 성질과 사실 (C)를 이용하여 가 정수임을 보인 것이다.
(C) 정수 에 대하여 이차방정식
의 근이 유리수이면 이 근은 정수이다.
<증명>
자연수 에 대하여 은 로 나누어 떨어지므로 (A)에 의하여
㉠
는 로 나누어 떨어진다.
따라서, 는 정수이다.
와 를 두 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수와의 관계와 (B)에 의하
㉡
여 이다.
는 (A)에 의하여 유리수이고,
㉢
는 정수이므로, (C)에 의하
㉣
여 는 정수이다.
위의 증명과정에서 밑줄 친 부분 중 (A), (B), (C)를 잘못 이용한 곳은? (상)
① ㉠ ② ㉡ ③ ㉢ ④ ㉣ ⑤ 없다.

키워드

방정식,   부등식,   연립방정식,   실수,   이차식