[과외]고등 수학 IV-1.포물선의 방정식

목차

포물선의 방정식 문제 1~16

본문내용

은
y²=16x ······· ㉠
㉠이 (a,8)을 지나므로
8²=16a
∴ a=4
4.Ans)⑤
Sol)
초점이 (-3,0)이고 준선이 x=3이므로 꼭지점이 (0,0)이다.
∴ 포물선의 방정식은
y²=4(-3)x=-12x
Ⅳ. 이차곡선
1. 포물선의 방정식
5Ans)⑤
Sol)
그림에서 ++
= ++
= (x₁+2)+(x₂+2)+(x₃+2)=21
∴ x₁+x₂+x₃= 15
∴ 중심의 x좌표는 =5
6.Ans)②
Sol)
y=x-2에 수직이므로 구하는 직선의 기울기는 -1이다.
따라서 구하는 직선은
y=-x+k(k:상수) ··········· ㉠
㉠을 준포물선에 대입하면
(-x+k)²-4x-4=0
⇒ x²-2(k+2)x+k²-4=0 ········· ㉡
㉡이 중근을 가지므로
D/4 = (k+2))²-(k²-4)=0
⇒ k= -2
∴ y= -x-2
7.Ans) ④
Sol)
P와 Q는 x²-2y-a=0을 경계로 서로 다른 영역에 포함되어 있으므로
(1-4-a)(4-2-a) < 0
⇒ (a+3)(a-2) < 0
⇒ -3 < a < 2
∴ 정수인 a는 -2, -1, 0, 1
8.Ans) y=-x-1
Sol)
준 식의 y² 대신 -2y, x대신 을 대입하면 되므로
-2y = 4·= 2x+2
∴ y= -x-1
Ⅳ. 이차곡선
1. 포물선의 방정식
9.Ans) ②
sol)
y²=8x=4×2×x
∴ 기울기 -2인 접선의 방정식은
y= -2x+
= -2x-1
10.Ans) ③
Sol)
A(a₁,a₂), B(b₁,b₂), C(c₁,c₂)라 하면 무게중심이 (4,3) 이므로
(,)=(4,3)
⇒ =12, =9 ······· ㉠
한편 그림에서
= = +1
= = +1
= = +1
∴ ++
= (+1)+(+1)+(+1)
= +++3
= 12+3 (㉠에서)
= 15
11.Ans) ①
Sol)
그림에서 = 이므로
+=+
따라서 + 의 최소는
즉 P(a,b)가 y=2와 y²=4x의 교점일 때가
+ 가 최소
∴ P(1,2)
∴ a=1, b=2
∴ a-b=-1
Ⅳ. 이차곡선
1. 포물선의 방정식
12.Ans) ⑤
Sol)
P(a,b), Q(c,d)라 하면
(ⅰ)
P가 y²=4x 위의 점이므로 b²=4a ···· ㉠
(ⅱ)
Q가 x²=8y 위의 점이므로 c²=8d ····· ㉡
(ⅲ)
P에서의 접선의 방정식은
by= 2(x+a) ⇒ y= x+ ······· ㉢
(ⅳ)
Q에서의 접선의 방정식은
cx=4(y+d) ⇒ y= x-d ······· ㉣
㉢ //㉣ 이므로 = ⇒ bc=8 ····· ㉤
그림에서
△OPQ = □OLMN - △OLP -△PMN-△OQN
= bc-{ab+cd+(c-a)(b-d)}
= (bc-ad)
= (8-2)
= 3
∵ ㉠×㉡에서
32ad = (bc)²=8²
⇒ ad=2
13.Ans) ②
Sol)
접점을 (a,b)라 하면, y²=4x 위의 점이므로
b²=4a ······· ㉠
접선의 방정식은
by= 2(x+1) ······· ㉡
㉡이 (-2, 1)을 지나므로
b=2(-2+a)= 2a-4
㉠에 대입하면
(2a-4)²= 4a
⇒ 4a²-20a+16=0
⇒ a²-5a+4=0
⇒ a=1, 4
⇒ b= -2,4
∴ P(1, -2), Q(4,4)
∴ 의 기울기는 =2
14.Ans)⑤
Sol)
직교하는 두 접선의 기울기를 m, - 이라 하면, 두 접선의 방정식은
y= mx+ ······ ㉠
y=-x+= -x-m ······ ㉡
㉠, ㉡이 (p,q)를 지나므로
q= mp+, q= -p-m
Ⅳ. 이차곡선
1. 포물선의 방정식
∴ mp+ = -p-m
⇒ (m+)p= -(m+)
⇒ p= -1 ·········· ㉢
한편 (p,q)가 y=-2x+1 위의 점이므로
q= -2p+1 = 3 (㉢에서)
∴ 2p+3q= -2+9 =7
15.Ans) ②
Sol)
=, = 이므로
ABCD의 둘레의 길이는
=
= 2(2+)
= 4+
따라서 가 최소일 때 ABCD의 둘레의 길이가 최소가 된다.
가 최소가 되는 것은
: x = 일 때,
즉 B(,),
C(,-)일 때이고 그때 의 값은 1
∴ ABCD의 최소 둘레 길이는 4++1=5.5
16.Ans)①
Sol)
y²=2x와 y=ax+b가 접하므로
(ax+b)²=2x 즉,
a²x²+2(ab-1)x+b²=0에서
D/4 = (ab-1)²-a²b²=0
∴ ab=
=1 과 y=ax+b가 접하므로
=1 즉,
(1+a²)x²+ 2abx + b²-1 = 0에서
D/4= (ab)²-(1+a²)(b²-1)=0
∴ = -1
∴()²=()²+ 4
= (-1)²+4·()²=2
∴=

키워드

직선,   이차곡선,   최대,   최소