공통수학 수와 식

본문내용

수를 의 제곱근이라 한다. 양수 의 제곱근 중에서 양인 것을
로, 음인 것을 로 나타낸다.
(2) 세제곱근 세제곱하여 가 되는 수를 의 세제곱근이라 한다. 의 세제곱근 중에서 실수인 것은 한 개 있으며, 이것을로 나타낸다.
【ex. 1】의 세제곱근 : 을 만족하는 의 값을 의 세제곱근이라 한다.
에서 ,
(8의 세제곱근)
이 중에서 실수인 것 를로 나타낸다.
(보기)
의 계산
(1)
일 때 , 일 때
(2) 의 양, 0, 음에 관계없이
【ex. 2】다음 식을 간단히 하여라.
(1) (2) (3)
(풀이) (1) 이므로
(2) 이므로
(3)
여기에서는 의 부호를 알 수 없으므로 일 때와 일 때로 나누어 생각해
야 한다. 곧,
일 때 곧, 일 때
일 때 곧, 일 때
【ex. 3】다음 식을 간단히 하여라.
(1) (2) (3)
(풀이) (1)
(2)
(3)
[참고]의 계산
(1) 이 짝수일 때
(2) 이 홀수일 때 (의 부호에 관계없음)
(보기)
【ex. 5】는 유리수가 아님을 증명하여라.
(증명) 가 유리수라고 가정하면 를 만족시키는 서로 소인 정수 가 존재
한다. 그러므로 에서
여기에서 은 의 배수이고, 는 소수이므로 도 의 배수이다.
(는 정수)라 하면 ①에서
여기에서 은 의 배수이고, 는 소수이므로 도 의 배수이다.
따라서, 는 모두 의 배수가 되어 가 서로 소라는 가정에 모순이 된다.
그러므로 는 유리수가 아니다.
【ex. 6】다음 각 물음에 답하여라.
(1) 가 실수일 때, 를 간단히 하여라.
(2) 일 때, 를 간단히 하여라.
(풀이) (1) 일 때 이므로
일 때 이므로
(2)


§2. 무리수와 무리식의 연산
제곱근의 계산법칙
일 때
(1) (2)
(3) (4)
분모의 유리화
(1)
(2) ()
(3)
(4)
(5)
이중근호의 변형
(1) 일 때
(2) 일 때
(해설) (1) 일 때
(2) 일 때
【ex. 1】다음 각 식을 간단히 하여라.
(1)
[ ]
(2)
(3)
(4)
【ex. 2】일 때, 의 값을 구하여라.
(풀이) 에서
【ex. 3】일 때, 의 값을 구하여라.
(풀이) 에서 양변을 제곱하면 ,
준 식의 분자를 로 나눈 몫은 이고, 나머지는 이므로
(준식)
【ex. 4】일 때, 의 값을 구하여라.
(풀이) 이므로
(준식)
【ex. 5】일 때, 의 값을 구하여라.
(풀이) 이므로
(준식)
§3. 무리수의 상등에 관한 정리
(1) 가 유리수이고, 이 무리수일 때,
(2) 이 유리수이고, 이 무리수일 때,
(3) 가 유리수일 때,
【ex. 1】를 만족하는 유리수 의 값을 구하여라.
(풀이) 준식에서
는 유리수이므로 도 유리수이다.
제9장. 복소수 체계
§1. 실수와 복소수
허수단위
(1) 제곱해서 이 되는 새로운 수를 생각하여 이것을 로 나타내고, 를 허수단위라고 한다.
(2) 일 때, 를 다음과 같이 정의한다.
일 때, 특히,
(보기) , ,
(주의) 가 아니다.
(참고) 일 때,
의 양, , 음에 관계없이 의 제곱근은
⇔ ( ⇔ )
복소수, 허수의 정의
가 실수일 때 꼴의 수를 복소수라 하고,
를 실수부, 를 허수부라 한다.
특히, 실수가 아닌 복소수 ()를 허수라
하고, ()꼴의 허수를 순허수라 한다.
【ex】 복소수 : , , ,
허수 : , ,
순허수 :
[참고] 복소수의 분류
[참고] 수집합의 포함관계 ( C는 복소수 전체의 집합)
§2. 복소수의 연산
복소수의 상등에 관한 정의
(1) 가 실수일 때 ⇒
(2) 가 실수일 때 ⇒
【ex. 1】다음 식을 만족하는 실수 의 값을 구하여라.
(1) (2)
(풀이) (1) 좌변을 의 꼴로 정리하면
는 실수이므로
(2) 은 실수이므로
켤레복소수
가 실수일 때, 와 를 서로 켤레복소수라 한다.
라 할 때, 의 켤레복소수를 로 나타낸다.
, 이므로
켤레복소수의 합과 곱은 반드시 실수이다.
【ex】 , ,
, ,
,
켤레복소수의 성질
가 복소수이고, 의 켤레복소수를 각각 라 할 때
(1) (2)
(3) (4) (단,)
(보기) 일 때, 이므로
복소수의 사칙연산
를 실수라 할 때, 복소수의 사칙연산을 다음과 같이 정의한다.
(1) 덧 셈 :
(2) 뺄 셈 :
(3) 곱 셈 :
(4) 나눗셈 :
복소수의 연산에 관한 성질
(1) 사칙연산 : 복소수 전체의 집합 는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 관하여 닫혀있다.
(단, 나눗셈에서는 으로 나누는 것은 제외한다.)
(2) 연산의 기본법칙 : 가 복소수일 때
① 교환법칙 :
② 결합법칙 :
③ 분배법칙 :
(3) 항등원과 역원 : 임의의 복소수 에 대하여
① 덧셈에 대한 항등원은 , 곱셈에 대한 항등원은
② 덧셈에 대한 의 역원은 , 곱셈에 대한 의 역원은
이상으로부터 “복소수의 연산에서는 를 보통 문자와 똑같이 취급하여 계산하고,
은 로 바꾸어 놓기로 정의” 한 것과 같다.
【ex. 2】다음 각 식을 는 실수)의 꼴로 나타내어라.
(1) (2)
(3) (4)
(풀이) (1)
(2)
(3)
(4)
[참고] 다음의 복소수는 자주 이용되는 수이므로 익혀두기 바란다.
① ② ③
④ ⑤,
의 주기성
이 정수일 때,
(보기)
【ex. 3】다음 복소수를 간단히 하여라. (은 자연수)
(1) (2)
(3) (4)
(풀이) (1) (준식)
(2) (준식)
(3) 로 놓으면 , 이므로 준식은
(4) 위의 (3)번과 같이 정의하면 으로 놓을 수 있으므로
[참고] 의 한 허근을 라 하면 ,
로 놓으면
※ ,
【ex. 4】일 때, 의 값을 구하여라.
(풀이)
에서 양변을 제곱하면 ,
제곱근의 성질
(1) 일 때
(2) 일 때
[참고] 위의 경우 이외에는 , 이 성립한다.
[주의] 이 성립하지 않는 경우는 일 때이다.
이 성립하지 않는 경우는 일 때이다.
(해설)
【ex. 5】가 실수이고, 에 관한 이차방정식 이 실근을 가질 때, 그 실근 및 의 값을 구하여라.
(풀이) 실근을 라 하면 주어진 방정식에 대입하여
,
여기서 와 는 실수이므로 도 실수이다.
복소수의 상등에 따라
②에서
이면 ①에서 , 이면 ①에서

키워드

공통수학 수와 식,   수와 식,   실수체계