기하학의 세계 (한붓그리기, 위상수학)

소개글

기하학의 세계 (한붓그리기, 위상수학) 에 대한 보고서 자료입니다.

목차

Ⅰ. 기하학
1) 기하학의 역사
2) 유클리드의 기하학
3) 유클리드
4) 비유클리드 기하학 (19세기 초)
5) 유클리드 외의 그리스 기하학

2. 오일러(Svante) von Euler(-Chelpin)

3. 쾨니히스베르크의 다리 건너기 문제
1) 오일러의 오솔길(Euler's trail)
2)한붓그리기
3)해밀턴 경로와 해밀턴 순환로(Hamilton path and 　Hamilton circu)

4. 생활속의 기하학
1)음료수 캔은 왜 원기둥인가?
2) A4 용지의 규격
3) 꿀벌은 왜 정육각형으로 집을 지을까?
4) 삼각 탁자

본문내용

으로 자르고 또다시 절반으로 자른 작은 종이들이 전지의 규격과 같으면 바람직하다. 수학적으로 말하면 서로 닮은꼴이어야 한다는 얘기다. 전지의 길이 대 폭의 비를 x : 1이라고 하자. 그러면 이것을 절반으로 자른 종이의 길이 대 폭의 비는 1 : x/2 이다. 두 직사각형이 서로 닮은꼴이므로 비례식 x : 1 = 1 : x/2 가 성립하고, 이로부터 이차 방정식 1=x2/2 를 얻는다. 그래서 이다. 이렇게 전지의 폭에 대한 길이의 비를 로 택하면, 반으로 자르는 과정에서 이 비가 항상 유지된다. 1 : 는 황금비는 아니지만 눈으로 보아서 그렇게 큰 차이가 나지 않는다. 이렇게 도형의 닮은꼴, 비례식, 이차 방정식, 무리수 등의 수학적 개념이 실생활에 유용한 종이의 재단에 이용된다.
앞에서 A4 용지의 폭에 대한 길이의 비는 약 1.414였다. 눈치챘겠지만, 이 값은 실제로 를 가리킨다. 단지 제조 과정에서 편의를 위해 근사값을 택했을 뿐이다. 그런데 왜 297mm×210mm일까. A4 용지의 전지를 A0 라고 하는데, A0 의 규격은1189mm×841mm이다. 더 복잡한 수치다. 그런데 A0 용지의 넓이를 계산해보면 999949mm ² 임을 알 수 있다. 이는 1000000mm ² , 즉 1m² 의 근사값이다. A0 는 폭에 대한 길이의 비가 이고 넓이는 1m ² 가 되도록 만든 종이이다. 이를 절반으로 자르는 과정에서 A1, A2, A3, A4 등의 에이(A)판 용지가 만들어진다. B4와 B5 용지도 많이 사용된다. 이런 종이도 A판과 같은 원리로 만들어진다. 전지 B0의 폭에 대한 길이의 비는 이고 넓이는 1.5 가 되도록 규격을 1456mm×1030mm로 정했다. 이를 절반으로 자르는 과정에서 B1, B2, B3, B4, B5 등의 비(B)판이 만들어진다.
3) 꿀벌은 왜 정육각형으로 집을 지을까?
그림에서 둘레가 같은 여러 가지 도형의 면적을 구하였는데 그 모양이 원에 가까울수록 면적이 커진다는 것을 알 수 있다. 그래서 꿀벌이 집단생활을 하지 않고 한 마리씩 독립생활을 한다면 당연히 원기둥의 집을 짓고 살았을 것이다. 그러나 꿀벌은 집단공동 생활을 하고 있다.
공동생활을 하는 꿀벌의 입장에서 같은 양의 재료를 사용하여 벌집을 지을 때 경제성을 우선하는 것을 알 수 있다. 평면을 정다각형으로 채우는 데 가장 경제적인 방법은 사이에 틈이 생기지 않도록 하기 위하여 정삼각형, 정사각형, 정육각형을 사용하여야 하고 그 가운데서 원에 가장 가까운 정육각형을 선택하였다. 이것이 꿀벌이 정육각기둥으로 벌집을 만드는 이유이다. 자연계에서는 정육각형을 서로 이어 붙여 평면을 메운 경우를 가장 흔하게 볼 수 있다. 곤충의 눈, 잠자리의 날개, 꿀벌의 집, 눈의 결정 모양 등이 그런데, 정육각형일 때 서로 맞닿는 부분의 넓이가 가장 적어 경제적이고 안정적이기 때문이라고 한다. 비록 꿀벌이 수학적으로 생각하고 계산해서 집을 지은 건 아니지만 자연계는 이렇게 가장 수학적인 법칙을 따르고 있다.
4) 삼각 탁자
다리가 3개 있는 탁자는 아무리 다리 길이가 서로 다르더라도 결코 흔들리지 않는다. 또한 다리가 3개인 탁자는 항상 3다리 모두 그 끝이 바닥에 닿아 있다. 왜냐하면 임의의 3점은 오직 하나의 평면만을 구성하기 때문이다. 삼각 탁자가 흔들리지 않는 것은 바로 이런 이유에서이며, 이것은 순전히 기하학적인 이유에 의한 것이지 물리적인 이유와는 아무런 관계가 없다. 토지 측량기구나 사진기의 스탠드가 모두 3각대인 것도 바로 이 이유이다. 만일 좀 더 견고하게 한다고 다리를 4개로 만든다면 더욱 불안정하게 흔들거릴 뿐이다.
5)왜 정오각형의 타일은 없는가?
정오각형이나 정칠각형, 정팔각형으로 된 타일은 눈에 띄지 않는다. 그 이유는 이러한 모양으로 된 타일을 쓰면 벽이나 마루를 모두 메울 수 없기 때문이다. 그 이유를 살펴보자.
위의 그림에서 짐작할 수 있는 바와 같이 정n각형의 한 내각의 크기는 이다.
정n각형의 타일을 빈틈없이 이어 붙일 수 있다고 하면 각 꼭지점을 x개의 정n각형으로 둘러싸야 한다.
이때 x가 2일 수는 없기 때문에 x는 3이상이어야 한다. 그리고 내각이 x개 모여서 360°가 되기 때문에 이어야 한다. 즉, . 그런데 이어야 하므로, 이다.
즉, 이어야만 한다.
그러므로 반드시 정육각형 이하이어야 한다. 게다가 x는 정수이기 때문에 그러한 x를 찾으면 x는 3,4,6이 된다. 정오각형이라면 10/3 이 되어서 정수라는 조건에 어긋나게 된다.

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