도형의 탐구

목차

1. 교육과정 분석

2. 교구의 활용

3. 점판(Geoboard)

4. 칠교판(Tangram)

5. 축구공에 숨어 있는 수학

6. Tesselation

7. 흥미로운 기하
-뫼비우스의 띠, 매듭, 프랙탈

8. Ship Ahoy
-공간감각, 각

본문내용

)
준비물: 축구공, 폴리드론, 활동지, 각도기
축구공 관찰하기
정오각형 개와 정육각형 개
꼭지점의 개수, 구한 방법
면의 개수, 구한 방법
꼭지점에 모인 다각형의 종류와 개수
한 꼭지점에 모인 다각형의 내각의 합
공모양 다면체 만들기
정삼각형만 사용
한 꼭지점에 세 개의 정삼각형
한 꼭지점에 네 개의 정삼각형
한 꼭지점에 다섯 개의 정삼각형
한 꼭지점에 여섯 개의 정삼각형
정사각형만 사용
한 꼭지점에 세 개의 정사각형
한 꼭지점에 네 개의 정사각형
정오각형만 사용
정육각형만 사용?
공모양다면체가 위한 조건
그 외의 다른 정다각형 사용?
한 꼭지점에 적어도 몇 개의 다각형?
한 꼭지점에 모인 다각형의 내각의 합 은 몇 도 이내
그 밖의 성질
두 종류의 정다각형을 이용
어떤 경우가 가능
찾아낸 공모양다면체의 종류와 특징
공모양 다면체의 특징 탐구
공모양다면체가 만들어지지 않은 경우
정사면체의 경우
① 꼭지점의 개수
② 각 꼭지점에 모인 정삼각형의 개수
③ 한 꼭지점에 모인 다각형 내각의 합
④
360 Deg
에서 내각의 합을 빼면?
⑤ 꼭지점의 개수에 앞의 값을 곱하면?
정육면체의 경우
① 꼭지점의 개수
② 각 꼭지점에 모인 정사각형의 개수
③ 한 꼭지점에 모인 다각형 내각의 합
④
360 Deg
에서 내각의 합을 빼면?
⑤ 꼭지점의 개수에 앞의 값을 곱하면?
정다면체의 각 경우에 다음 구하기
정 면체 : ④­ ⑤­
정 면체 : ④­ ⑤­
정 면체 : ④­ ⑤­
축구공다면체
④­ ⑤­
세 가지 종류의 정다각형 이용
정삼각형, 정사각형, 정오각형이 한 꼭지점에 오도록 한다면 공모양 다면체가 만들어질 수 있을까요?
꼭지점의 개수?
필요한 총다각형의 개수?
Tesselation이란?
마루나 욕실 바닥에 깔려 있는 타일처럼 어떤 틈이나 포개짐이 없이 평면이나 공간을 완벽하게 덮는 것
(타일 깔기, 모자이크)
테셀레이션 찾아보기
기원전 4세기 이슬람 문화의 벽걸이, 융단, 옷, 깔개, 가구의 타일, 건축물
이집트, 무어인, 로마, 페르시아, 그리스, 비잔틴, 아라비아, 한국, 일본, 중국 등
알함브라
테셀레이션의 수학적 의미
무한한 수학적인 개념과 의미가 있는데, 예를 들면, 도형의 각의 크기, 변환 등을 학습할 수 있으며, 테셀레이션을 만드는 활동을 통해 자연스럽게 기하학습을 할 수 있고 수학적 사고력과 창의력도 키울 수 있다.
테셀레이션
작품
M. C. Esher(1892-1972)
네덜란드 화가
알함브라 궁전에서 영감
단순한 기하학적 무늬에서 수학적 변환을 이용하여 새, 물고기, 도마뱀, 개, 나비, 사람 등의 창조적인 형태의 테셀레이션 작품 세계 구축
테셀레이션 활용이 유효한 교과서 내용
단 계
내 용
1
1-나
·여러 가지 모양
(규칙에 맞게 색칠하기)
2
2-가
·도형과 도형 움직이기
(규칙 찾기)
3
3-나
·도형
(규칙에 따라 무늬 꾸미기)
5
5-나
·무늬만들기
(규칙에 따라 무늬 만들기, 한 가지 모양으로 도형이나 평면 덮기, )
프랙탈(Fractal)
프랙탈은 언제나 부분이 전체를 닮는 자기 유사성(Self-Similarity)과 순환성(Recursive
-ness)이라는 특징을 가지고 있다.
그 이름은 1975년 B.B. Mandelbrot에 의해 지어졌으나, 이러한 형상들에 관한 추상적 논의는 훨씬 이전부터 있었다. 칸토르집합, 코흐눈송이, 시어핀스키삼각형 등이 그 예이다.
칸토르집합
시르핀스키삼각형
코흐곡선
프랑스의 수학자인 만델브로트는 1967년 영국에서 발행되는 과학 잡지인 '사이언스'에 「영국을 둘러싸고 있는 해안선의 총 길이는 얼마인가」라는 제목의 글을 발표했다.
간단하게 생각하면 바보같은 질문 같은데 이 글에서 만델브로트는 영국의 해안선의 길이는 어떤 자로 재느냐에 따라 얼마든지 달라질 수 있다고 주장했다. 즉, 1m 단위의 자로 재었을 때와 1cm 단위의 자로 재었을 때는 둘레의 길이가 엄청난 차이를 낳을 것이라는 것이었다.
프랙탈이라는 용어는 만델브로트가 IBM에서 연구원으로 근무하던 중 자신이 연구하던 것들을 책으로 출간하기 위해 책의 제목을 생각하다가 라틴어의 Fractus라는 낱말을 발견하여 FRACTAL이라는 용어를 만들었다는 설도 있고, 프랙탈 기하학이 정수가 아닌 분수(Fractional)차원을 가진다는 의미에서 FRACTAL이라는 용어를 만들었다는 설도 있다.
프랙탈은 컴퓨터의 발전과 더불어 더욱 알려지게 되었고, 수학, 물리학, 예술 등 여러 분야에서 활용되고 있다.
공간감각의 중요성
도형과 공간적 사고는 일상적으로 늘 접하는 경험의 일부분으로 수학교육에서 중요한 위치를 차지한다. 학생들은 공간에 대한 많은 직관적 개념들을 획득하며, 주변 환경 속에서도 직관적 개념을 획득한다. 그리고 환경 속에 있는 사물들과 상호작용한다.
공간감각은 자기 주위 상황과 그 물체에 대한 직감의 일부분을 말한다. 공간감각을 기르기 위하여 학생들은 공간에서의 물체의 위치, 모양, 방향, 이동, 도형이나 물체의 상대적인 크기와 모양, 모양의 구조, 모양과 크기의 관계, 도형의 차원의 변화 등에 초점을 둔 많은 경험이 필요하다. 또한 사물을 그리고 스케치하는 것은 공간감각을 개발하는 중요한 부분이다.
결국 공간감각을 강조하는 것은 살아 숨쉬는 공간에 대한 탐구를 통해서 공간에 대한 직관력을 기르며 더 나아가서는 여러 도형의 특성과 개념을 이해하는 기초를 제공한다.
Freudenthal
공간감각/각과 관련된 교과서 내용
단 계
내 용
1
1-나
·공간 감각(점판)
(점판에서 삼각형, 사각형 만들기
모양 보고 만들기)
2
2-가
·공간감각
(구체물이나 그림의 옮기기, 뒤집기, 돌리기)
2-나
·입체도형의 구성
(쌓기나무로 제시된 입체도형 만들기)
3
3-가
·각과 평면도형
(생활의 예를 통한 각, 직각의 이해
직각삼각형, 직사각형, 정사각형)
·공간감각
(평면도형이나 무늬의 옮기기, 뒤집 기, 돌리기)
3-나
·공간 감각
(거울을 사용하여 상 만들고 관찰하기)
4
4-나
·공간 감각
(주어진 도형으로 모양 만들기)
5
5-가
·공간 감각
(여러 가지 모양으로 도형 덮기)
5-나
·합동과 대칭
(도형의 합동
선대칭도형과 점대칭도형)

키워드

도형,   점판,   칠교판,   수학,   기하,   교구