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소개글

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목차

Ⅰ. 수학의 정의

Ⅱ. 수학의 종류
1. 대수학(Algebra)
1) 대수적 구조론(Algebraic Structures)
2) 표현론(Representation Theory)
3) 정수론(Number Theory)
4) 대수기하학과 가환대수(Algebraic Geometry and Commutative Algebra)
5) 응용대수학(Applied Algebra)
2. 해석학(Analysis)
1) 복소해석학(Complex Analysis)
2) 함수해석학(Functional Analysis)
3) 비선형해석학(Nonlinear Analysis)
4) 편미분방정식(Partial Differential Equation)
3. 기하학(Geometry)
1) 리만기하학(Riemannian Geometry)
2) 사교기하학(Symplectic Geometry)
3) 복소기하학(Complex Geometry)
4) 기하학의 응용(Applications of Geometry)

Ⅲ. 수학과 이론물리학

Ⅳ. 수학과 수학화
1. 수학화의 의미
2. 수학화 과정과 수학적 활동
1) 스키마화
2) 도식화
3) 형식화
4) 알고리즘화
5) 공리화
6) 일반화
7) 국소적 조직화
3. 수학화의 과정
1) 수평적 수학화
2) 수직적 수학화

Ⅴ. 수학과 기호
1. 덧셈(addition)
2. 곱셈구구(multiplication table)
3. 분수(分數, fraction)

Ⅵ. 수학과 양
1. 양의 개념
2. 양의 성질
1) 양의 비교성
2) 양의 가법성

Ⅶ. 수학과 오차
1. 부당오차
2. 계통오차
3. 우연오차
4. 확률오차
1) 측정값의 유효숫자
2) 표준오차
3) 오차의 전파
4) 최소 제곱법

참고문헌

본문내용

리되어서 존재하고 있는 대상 전체, 곧 그들의 집합에 대응되는 양이고, 그들 대상 하나하나가 바로 단위이기 때문에 이로부터 집합수가 추상된다.
연속량은 길이, 무게, 넓이, 들이 등과 같이 양을 각 부분이 자유로이 연합, 분할가능한 양이고 약속한 일정한 크기의 같은 종류의 양(단위)에 의하여 분수, 소수가 추상된다.
2. 양의 성질
수학에 있어서 양이란 사물 자체에서 얻어지는 감각적인 요인을 상상한 추상이기 때문에 이와 같은 양을 측정할 경우에는 그들의 공통적인 성질인 비교성, 가변성, 연속성에 의하여 형식화한다.
1) 양의 비교성
같은 종류의 양끼리는 대, 소, 상등의 관계를 비교할 수 있는 성질로 들이, 무게 지도의 기초이론으로 이해를 돕기 위하여 ‘길이’의 예를 들어보면 두 개의 길이 a, b 사이에는 a>b, a=b, ab, b>c, 이면 a>c a=b, b=c 이면 a=c가 성립되지 않으면 안 된다.
2) 양의 가법성
같은 종류의 두 양을 측정하여 더하거나, 뺄 수 있는 성질로 두 양 a, b에서 a>b 이면 nb>a(b≠0) 인 자연수 n이 성립하고, a>b 이면 a>c>b인 같은 종류의 양 c 가 무수히 존재한다. 한 개의 양 a 와 자연수 n이 주어질 때 a = nb 인 b가 단 하나 반드시 존재한다. 이와 같이 양의 지도인 경우 아동들이 양을 바르게 이해하고 성질을 이해하고 가치화의 방법을 이해하고 양의 근간을 두어 지도되어야 할 들이, 무게 지도가 될 때 들이, 무게의 개념을 정확히 이해하게 될 것이다.
Ⅶ. 수학과 오차
1. 부당오차
계기조작상의 분명한 실수를 범하여 신빙성이 없는 경우에 생기는 오차
(길이를 제는데 한쪽의 원점을 맞추지 않은 경우, 저항 측정에서 원점을 확인하지 않은 경우)
이럴 경우에는 그 원인이 명백하므로 얻은 데이터를 무시한다.
2. 계통오차
측정기계의 불비한 점에 기인되는 오차로서 그 크기와 부호를 추정할 수 있고 보정할 수 있는 오차
(전압을 여러 번 측정하여 평균값을 얻었는데 확인결과 사용한 전압계의 눈금이 원점에서 벗어난 경우, 자로 길이를 재었는데 온도에 따른 길이의 변화를 고려하지 않은 경우)
이럴 경우에는 계통오차를 추정할 수 있으므로 별도로 추정하여 결과적으로 얻은 측정값에 직접 반영할 수 있다.
3. 우연오차
반보측정 할 때마다 상이한 결과를 얻게 되는 측정값에서 생기는 오차우연 오차를 줄이는 것이 실험의 정확도를 높이는 가장 중요한 관건이다. 측정값의 정밀도는 이 우연오차의 처리와 분석에 달려있다. 우연오차를 줄이는 방법으로는 좀더 정밀한 측정기계사용, 여러 번의 반복 측정이 있다.
4. 확률오차
측정값을 얻을 때 추정되는 오차의 크기. 예를 들어, 어떤 측정값이 로 나왔다면 오차가 가 아니다. 측정값에서 어느 정도 벗어날 수 있는지의 확률적 척도를 제시해준다. 사이에 측정값이 있을 확률이 50%가 되게 하는 를 확률오차라 고 부른다.
1) 측정값의 유효숫자
측정값은 숫자로 표현하지만 그 의미는 수학에서의 표기법과 다르다. 모든 측정값은 근사 값이므로 무의미한 자릿수를 나열할 필요가 없다. 그래서 효과 있는 숫자 즉 유효숫자만으로 표시해야한다.
-1. 0이 아닌 맨 왼쪽의 숫자가 최상의 유효숫자이다.
-2. 소수점이 없을 경우에는 0이 아닌 맨 오른쪽의 숫자가 최하 유효 숫자이다.
-3. 소수점이 있을 경우에는 맨 오른쪽의 숫자가 0이더라도 이 수가 최하의 유효 숫자이다.
-4. 최상 유효 숫자와 최하유효숫자 사이의 모든 숫자는 유효숫자이다.
2) 표준오차
측정값들은 우연오차 때문에 매번 측정을 할 때마다 다른 값을 얻게 되고 어떤 분포를 이룬다. 이러한 측정값들의 분포특성을 기술하기 위하여 이들을 대표할 수 있는 수치와 분포된 정도를 나타내는 척도가 필요하다. 측정 자료를 대표할 수 있는 수치로서는 최빈값, 중앙값, 평균값이 있다.
최빈값 - 빈도가 가장 많이 나온 측정값.
중앙값 - 이보다 작은 자료와 많은 자료가 똑같은 측정값의 중앙에 위치한 측정값이다.
평균값 - 산술평균
개의 자료를 얻었을 경우 평균값=
빈도를 가중치로 하여 평균값을 구할 경우 평균값= =
는 분산(variance)이라한다. =
오차를 표현하는 방법으로는 절대오차, 상대오차, 퍼센트 오차의 세 가지가 있다.
절대오차 -
상대오차 -
퍼센트오차 - 100
3) 오차의 전파
측정오차가 작을수록 좋다는 것은 자명하다. 그러나 제한된 시간에 주어진 장비로 최대한의 좋은 결과를 얻으려면 결과적인 최종오차가 최소가 되도록 최초오차들을 상대적으로 최적화되도록 실험을 계호기하는 것이 바람직하다. 덧셈과 뺄셈 에서는 절대오차가 같은 정도의 크기가 되도록 하는 것이 좋다 곱셈과 나눗셈에서는 상대오차가 같은 정도가 되도록 하는 것이 합리적이다. 유효숫자를 다룰 때 숫자의 가감승제에서 이러한 오차전퍼의 공식이 반영되어 있음을 알 수 있다. 멱함수의 경우에는 지수가 클수록 전퍼되는 오차량도 커진다. 그러므로 특히
정밀한 측정이 요구된다.
4) 최소 제곱법
한 양을 번 되풀이하고 측정하여 나온 측정값 , , ,........ 을 얻었을 때 이들 측정값들의 편차의 제곱의 합을 극소로 해주는 대표 값을 우리는 최학값(most probable value)라 한다. 최확값을 라 하면, 편차의 제곱의 합은 다음과 같다.
이것을 의 함수로 보고, 이 함수가 극소값을 갖는 조건은 다음과 같다.
= 0
이 조건에서 쉽게 다음을 얻을 수 있다.
=
이 경우 최확값은 평균값과 일치함을 알 수 있다.
참고문헌
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* 목진수(2001), 수학사 실생활 관련 WBI 학습자료 제작 활용을 통한 수학에 대한 정의적 특성의 내면화 방안, 현장교육논문
* 이용률 외 3인 공역(1992), 수학적인 생각·태도와 그 지도 II : 문제해결과정과 발문분석, 경문사
* 이바스 피터슨(1999), 현대수학의 여행자, 사이언스북스
* 육인선(1996), 수학은 아름다워1·2, 동녘
* 전평국(1999),수학과 교수·학습에서의 교수매체의 역할, 한국수학교육학회지, 시리즈F