수학이란 무엇인가

소개글

수학이란 무엇인가에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 수학이란 무엇을 하는 학문인가?

2. 수학의공리

3. 수학의 역사

4. 어떻게 역사를 평가할 것인가

본문내용

기본문제를 제시함으로써 수학연구의 목표를 설정.
1902-1910, 적분방정식론의 연구
1910-1922, 물리수학의 연구
1922 - 수학기초론의 연구
힐버트가 있었던 괴팅겐 대학은 가우스나 리이만 이후의 수학과 이론물리학이 협력하여 연구되어온 전통이 있는 대학이고 1905년에 아인슈타인(1879-1955)이 특수상대성이론과 광양자설 및 브라운 운동이라는 현대물리학의 개시를 발표했을 때도 가장 빠르게 반응을 보인 것도 괴팅겐 대학이었다. 그 당시 이 대학에 와있던 힐버트의 친구인 민코우스키(1864-1909)는 특수상대성이론을 4차원 리이만 공간의 기하학으로 고치는데 성공했다. 이러한 4차원공간은 현재 민코우스키 공간이라고 불리어지고 있다. 힐버트의 스펙트럼 이론과 더불어 20세기의 해석학의 또 하나의 흐름은 파리학파에 의해서도 준비되고 있었다. 총서가 출판되기 시작된 것은 전세기의 말이고 그 흐름 속에 르베크(1875-1941)의 적분론이 탄생되었다. 그것은 힐버트의 공간의 실체적 構築을 유도하고 함수공간론으로 전개되었다.
1899년에 힐버트가 발간한 [기하학의 기초론]은 유크리드의 공리계의 미비한 부분을 보완해서 완전한 기하학 체계를 이룩하는 데 있었던 것이 아니다. 유클리드의 시대는 물론, 그 후에도 기하학은 오직 하나 [유클리드 기하학]이 있을 뿐이었다. 공간이 하나만 있듯이 그것을 설명하는 기하학도 하나라는 것은 너무나 당연한 상식이었다. 그러던 것이 19세기에 이르러 또 하나의 기하학 비유클리드 기하학이 발견되었으며, 힐버트의 시대에는 이미 이 수학은 당당히 기하학의 행세를 하고 있었다. 그러니까 힐버트가 생각하고 있었던 것은 단수가 아니라 복수의 기하학이었다. [기하학의 기초론]의 의의는 유클리드 기하학을 단지 이론적으로 다듬는 데 있는 것이 아니라, 기하학이 무수히 많을 수 있음을 보여준 데 있다. 그는 공리를 새로이 정함으로써 이 무수히 많은 기하학의 하나로 유클리드 기하학을 만들어 보인 것이다. [기초론]에서 새로이 만들어진 기하학 중에는 이전 같으면 도저히 기하학이라고 부를 수 없었던 것들이 있다. 유한 개의 점만으로 된 유한 기하학도 그 하나의 예이다. 이 새로운 이론이 수학계에 미친 충격이 얼마나 컸는지는 짐작하고도 남음이 있다. 이미 말했듯이 근대 수학의 주된 경향은 자연을 충실히 복사하는 일이었지만, [기초론]은 그러한 낡은 시각을 철저히 부정한 데서부터 시작되었다. 그 때까지 기하학이라면 객관적인 외부 세계에 기초를 둔 것이었는데, 이제는 외부와의 상관없는 엉뚱한 것까지도 기하학이라고 불러야 했다. 그 때문에 수학자들은 엄청난 충격을 받았던 것이다. 힐버트가 의도한 것은 자연 속에서 수학을 찾는 일이 아니라 사고의 세계에서 인위적으로 수학을 구성하는 일이었다. 그러므로 자연 속에 원형이 있어야 할 필요는 물론 없다. 힐버트의 이 구성적 방법을 공리주의 더 정확히 표현한다면 유클리드의 공리주의와 구별하기 위해서 신공리주의라고 부른다. 공리는 유클리드에서는 다른 명제를 연역적으로 이끄는 기본 명제였다. 그러나 이제 힐버트에 의해 완전히 새로운 뜻으로 탈바꿈하였다. 힐버트는 공리를 단지 가설로 간주해 공리주의 수학을 정립하였다.
어떻게 역사를 평가할 것인가(How we view history)
우리는 수학의 역사를 이해와 지혜의 우리 자신의 현 위치에서 평가한다. 다른 길이 있을 수도 없지만, 그럼에도 불구하고 우리는 수세기전의 수학자들의 견해와 우리들의 견혜사이의 차이를 평가하도록 노력해야 한다. 종종 오늘날 수학자들이 받는 교육방식이 과거의 어려움을 이해하는데 더욱 힘들게 한다.
어느 누구도 x+3=0 와 같이 방정식의 해로서 음수를 소개해야 하는 이유는 없다. 사실, 음수는 소개될 실제적인 이유는 없다. 아무도 -2권의 책을 가지고 있지 않다. 우리는 2를 2라는 객체의 모든 집합이 소유하는 추상적인 어떤 법칙으로 간주한다. 이것은 본질적으로 깊은 아이디어이다. 2개의 사과에다 3개의 사과를 더한 것은 하나의 문제이다. 2와 3이라는 원소를 갖는 모든 집합에 적용되고 2+3=5가 일반적인 정리가 되는 추상적인 법칙이 있다. 그 정리는 사과의 집합, 책의 집합, 나무들의 집합들이 무엇인지에 따라서 수학의 셈 영역으로 적용시킨다.
음수는 추상화(abstraction)의 토대가 되는 구체적인 모델을 가지고 있지 않다. 음수가 오랜 투쟁 끝에 언어진 것이라면 놀랄 일이 아니다. 이러한 어려움들을 이해하면 어떤 교사가 초등학교 학생들에게 가르치는 데 도움이 될 것이다. 우리가 기본적으로 받아들이고 있는 정수조차도 역사적인 배경을 고찰함으로써 비로서 적절히 이해될 수 있다.
도전(A Challenge)
만약에 당신이 수학적인 발견이 쉽다라고 생각한다면 여기가 당신을 생각하도록 만드는 도전장소가 될 것이다. 네이피어, 브릭스와 다른 몇몇 수학자들이 400년 전에 로그를 세상에 소개하였다. 로그는 350년 동안 산술에 있어서 주요한 도구로 사용되어졌다. 놀랄만한 양의 수고로움을 로그를 사용해서 덜 수 있었는데, 로그가 없었다면 어떻게 과학에 있어서 요구되는 복잡한 계산들을 해낼 수 있었겠는가?
세상은 바뀌었다. 휴대용 계산기가 등장했다. 로그는 수학함수로 중요하게 남아 있지만, 그것의 용도는 산술계산에 있어서는 거의 사라졌다.
여기에 도전할 만한 것이 있다. 계산기를 대신할 것은 무엇인가? 당신은 아마도 부당한 질문이라고 말할 수도 있다. 그러나 당신에게 다음을 상기시켜 주고 싶다
네이피어는 로그를 고안함과 동시에 기계적인 컴퓨터의 기본개념을 고안했다. 휴대용 계산기를 대신할 기본적인 아이디어는 분명히 우리 주변에 확실히 있는 것이다.
우리는 좀더 빠른 계산기 좀더 작은 계산기, 좀더 좋은 계산기를 생각할 수도 있다. 하지만, 필자는 계산기 자체가 로그테이블로부터 나왔듯이 계산기와는 다른 무엇인가를 요청하는 것이다. 필자는 스스로의 질문에 대한 답을 가지고 있다. 하지만 내가 말한다면 요점을 흐려 놓을 것 같다. 한번 생각해보라. 그리고 비유클리드 기하학, 중력의 법칙, 집합론등을 고안해내는 것이 얼마나 어려운 것인지를 깨닫기 바란다.

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수학,   수학의 공리,   수학의 역사,   피타고라스,   현대수학