여러가지 급수수렴판정법과 그예

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목차

1)교대급수판정법

2)CAUCHY판정법

3)비교판정법

4)극한비교판정법

5)ROOT 판정법

6)비판정법

7)RAABE 판정법

8)적분판정법

본문내용

>
ρ = sup│x│ 라 하자.
(a) 만약 ρ < 1 이면 x 은 절대수렴한다.
(b) ρ > 1 이면 x 은 발산한다.
(c) ρ = 1 이면 판정할 수 없다.
증명)
(a) ρ < 1이므로 ρ < r < 1되는 r 를 선택하자.
정리 3.4.4(a)에 의하여 ( ε = r - ρ > 0 )
∃ K ∈ N s.t < r (n ≥ K)
≤ r (n ≥ K)
∴ 비교판정법에 의하여 < ∞ (∵ = )
(b) ρ > 1 이므로 정리 3.4.4(a)에 의하여 ( ε = ρ -1 > 0 )
[정리 3.4.4(a)]
= M
⇔ ε > 0, ∃ K ∈N s.t. x < M +ε (n ≥ K)
또한 무수히 많은 n의 값에 대하여 x > M - ε
무수히 많은 n의 값에 의하여
> 1 i.e. (x) 0 (n → ∞)
Note
∴ 정리 7.1.3에 의하여 x : 발산
(c) 판정할 수 없다.
예) 급수 는 발산하지만 는 수렴
예) 급수 이 발산함을 보여라.
풀이) Root판정법에 의해서
r = = = 2 > 1
∴ 주어진 급수는 발산한다.
<비판정법>
ρ = sup, r = inf (τ ≤ ρ)
(a) 만약 ρ < 1 이면 x 은 절대수렴한다.
(b) r > 1 이면 x 은 발산한다.
(c) r ≤ 1 ≤ ρ 이면 판정할 수 없다.
증명)
(a) ρ < 1, ρ < r < 1인 r을 택하면,
∃ K∈N s.t < r (n ≥ K)
특히, < r
이므로 < r
또한 < r, < r < r
일반적으로, n∈N에 대하여 < r 이고 0 < r < 1 이므로
: 수렴
따라서 비교판정법에 의하여 : 수렴
∴ : 절대수렴
(b) ρ < 1, ∃ K∈N s.t.
> 1 (n ≥ K)
따라서 < < <
(X) 은 0에 수렴하지 않는다.
∴ 정리 7.1.3에 의하여 : 발산
[정리 7.1.3]
: 수렴 ⇒ = 0
(c) 판정할 수 없다.
예) 급수 는 발산하지만 는 수렴
예) 급수 의 수렴, 발산을 판정하라.
풀이) r = =
= = 0 < 1
∴ 비판정법의 의해 주어진 급수는 수렴한다.

x ≠ 0 (n ≥ 1) 라 하자.
(a) ≤ 1 - (n ≥ K) ----------- ①
를 만족하는 실수 p > 1 와 K∈N 가 존재하면 급수 x는 절대수렴한다.
(b) ≥ 1 - (n ≥ K) ----------- ②
를 만족하는 실수 p ≤ 1 와 K∈N 가 존재하면 급수 x는 절대수렴하지 않는다.
증명)
(a) ① 로부터 k∈N, k ≤ (k - 1) - (p - 1) (k ≥ K) i.e.
0 < (p - 1) ≤ (k - 1) - k (k ≥ K)
따라서 수열 (k )는 감소(↓)한다.
단조수렴정리에 의하여 L = 가 존재한다.
n ≥ K인 충분히 큰 n∈N을 고정한 후
위의 부등식에 k = K, , n을 대입한 후 각 부등식의 양변을 더하면
(p - 1)( ≤ (K - 1) - n
≤ (K - 1) - L
∴ < ∞
(b) ② 로부터 p ≤ 1이므로
n ≥ (n - p) ≥ (n - 1)
따라서 수열 (n) : 증가 i.e.
n∈N, K ≤ (K+1) ≤ ≤ n (n ≥ K)
∴ ∃c (:= K ) > 0 s.t. >
조화급수 는 발산하므로 는 절대수렴할 수 없다.
예) 무한급수 + + + + +의 수렴, 발산을 조사하여라.
풀이) x을 일반항이라고 하면
=
= > 1
∴ Raabe 의 극한수렴 판정법에 의해서 수렴한다.
<적분판정법>
f : ［1,∞) → R 가 양의 값을 갖는 감소함수라 할 때,
f(n) 가 수렵할 동치조건은 이상적분
= 가 존재하는 것이다.
더욱 부분합 s = f(k) 가 s 에 수렴할 때 다음 관계식이 성립한다.
≤ s - s ≤
증명)
f 가 구간 [1,∞)상에서 감소하므로 각 k∈N에 대하여
f(k) ≥ f(t) ≥ f(k + 1) (k ≤ t ≤ k + 1)
따름정리 6.2.1에 의하여
[따름정리 6.2.1]
f ∈ R[a,b]이고 f(x) ≥ 0 (x ∈ [a,b])이면 ≥ 0이다.
f(k) = ≥ ≥ = f(k+1) ----①이고
각 nN에 대하여
≥ ≥ =
∴ : 수렴 ⇔ : 수렴
또 ①에서 k = n + 1, , m을 각각 e입한 후 양변을 더하면
s - s ≤ ≤ s - s
⇒ ≤ s - s ≤
m을 무한대로 보내면
≤ s - s ≤
예) 급수 의 수렴, 발산을 조사하여라.
풀이) f(x) = : 연속 on［1,∞), 양이며 감소함수
dx = dx
= 1
= (tant - ) = - =

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교대급수판정법,   비판정법,   RAABE판정법,   CAUCHY판정법,   비교판정법,   극한비교판정법,   ROOT 판정법,   적분판정법