불함수[논리대수(logic algebra),드 모르강의 정리(De Morgan's theorems)]

목차

1. 기본 논리식

2. 논리대수의 기본 법칙

3. 드 모르강의 정리

본문내용

3입력 AND 식은 다음과 같다.
논리대수에서 논리곱은 아래와 같은 기본 규칙을 이용한다.
논리합의 부정은 논리회로에서 NOR 회로로서 OR 회로의 결과에 보수를 취한 것과 같으며 2-입력 NOR 함수는 다음과 같음 방정식 형태로 표현할 수 있다.
논리곱의 부정은 논리회로에서 NAND 회로로서 AND 회로의 결과에 보수를 취한 것과 같으며, 2-입력 NAND 함수는 다음과 같은 방정식 형태로 표현할 수 있다.
논리대수의 기본 법칙
논리대수의 기본 법칙도 일반 대수학의 법칙과 마찬가지로 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등이 있으며 입력 변수 3개를 A, B, C라 할 때 기본 법칙은 다음과 같다
교환법칙
2변수의 논리합에 대한 교환 법칙을 대수적으로 다음과 같다.
논리 회로적으로 논리합의 교환 법칙을 설명하면 아래그림과 같다.
2 변수의 논리곱에 대한 교환 법칙은 대수적으로 다음과 같다.
논리 회로적으로 논리합의 교환법칙을 설명하면 아래그림과 같다.
결합 법칙
3 변수의 논리합에 대한 결합 법칙은 대수적으로 다음과 같다.
논리 회로적으로 논리합의 결합 법칙을 설명하면 아래그림과 같다.
3 변수의 논리곱에 대한 결합 법칙은 대수적으로 다음과 같다.
논리 회로적으로 논리곱의 결합 법칙을 설명하면 다음그림과 같다.
분배 법칙
3 변수 논리회로의 분배 법칙은 대수적으로 다음과 같다.
논리 회로적으로 분배 법칙을 설명하면 아래그림과 같다.
논리대수의 기본정리
디지털 논리식을 해석하고 간략화하는 데 필요한 유용한 기본 정리를 설명하고자 한다.
1) 기본정리
① A + 0 = A
② A + 1 = 1
③ A·0 = 0
④ A·1 = A
⑤ A + A = A
⑥ A + = 1
⑦ A·A = A
⑧ A· = 0
⑨ = A
⑩ A + AB = A
⑪ A+B = A + B
⑫ (A + B)(A + C) = A + B·C
2) 증명
⑩ A + AB = A
결합법칙에 의해 A ( 1 + B ) = A·1 = A ⇒ 1 + B는 항상 1
⑪ A +B = A + B
논리식의 간소화 과정에 많이 이용되고 있는 본 식에 대해서 다음과 같이 증명할 수 있다.
지금까지 설명한 법칙과 규칙을 종합적으로 정리하면 다음표와 같다.
드 모르강의 정리
드 모르강의 정리(De Morgan's theorems)는 논리학자인 드 모르강이 제안한 정리로서 논리 대수에서 가장 중요한 두 개의 정리라 할 수 있다. 드 모르강의 정리는 논리식 사이에 논리합(OR)과 논리곱(AND)의 상호 교환이 가능하도록 한 정리로서 논리식을 간소화하거나 여러 가지 논리연산을 하는 데 유용하다.
그 두 개의 정리는 다음의 식과 같다.
제 1정리는 두 개 이상의 변수를 OR한 결과의 부정은 각각의 변수의 부정들을 AND한 것과 같다는 것을 의미한다.
제 2정리는 두 개 이상의 변수를 AND한 결과의 부정은 각각의 변수의 부정들을
OR한 것과 같다는 것을 의미한다.
진리표를 이용하여 두 정리를 증명하면 다음과 같다.
또한 두 정리를 등가 게이트를 이용하여 표현하면, 다음그림과 같다.

키워드

논리대수,   드 모르강,   불함수,   논리식,   교환법칙,   결합법칙