경문수학산책 도대체 수학이란 무엇인가?

소개글

경문수학산책 도대체 수학이란 무엇인가?에 대한 보고서 자료입니다.

목차

들어가기

개관과 제언

수리 철학의 기준

신화/오류/오해

직관/증명/확실성

고전적인 수수께기 다섯 가지

맺음말

본문내용

아무것도 없기 때문이다.
유한과 무한
지구가 생성된 이래로 계산된 수들을 모두 세어도 101010(거듭제곱을 몇 번 더 거듭제곱한 수)보다 작다. 바꿔 말하면, 그 수들은 모두 유한하다. 그렇지만 수학은 무한대로 가득 차 있다. 직선1 은 무한이다. 공간 3도 무한이고, 자연수 전체의 집합도 무한이다. 무수히 많은 무한 수열이 있다. 직선과 복소평면 수학에서의 복소수(複素數, complex number)는 다음 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. a + bi이 때 a, b는 실수이고 i는 허수단위로 i2 = - 1을 만족한다. 실수 a를 그 복소수의 실수부, 실수 b를 복소수의 허수부라고 부른다. 실수는 허수부가 0인 복소수라고 말할 수 있다. 즉 실수 a 는 복소수 a + 0i 와 같다. 예를 들어, 3 + 2i 는 실수부가 3이고 허수부가 2인 복소수이다.
과 사영 공간 수학에서 사영공간(projective space)은 평행선들이 만나는 장소인 무한원직선이나 무한원평면 등의 개념을 엄밀히 다루기 위해 만들어진 개념으로, 사영직선이나 사영평면 등을 임의 차원으로 일반화한 것이다. 사영공간의 기하학을 다루는 학문인 사영기하학은 현대 대수기하학의 기초가 되었으며, 사영공간 및 이를 확장한 개념인 그라스만 다양체와 깃발 다양체는 위상수학, 리군론, 대수군론 및 이 대상들의 표현론에서 중요한 역할을 한다.
에는 ‘무한’원점이 있고, 물론 무한 집합과 무한 서수와 무한 기수에 대한 칸토어 독일의 수학자. 집합이론을 세웠다. 무한히 크지만 서로 다른 수인 초한수의 개념을 수학의 의미로 소개했다.
의 분류 단계도 있다. 논리학은 우리에게 무한을 수학에 도입하도록 강요하지는 않는다. 유클리드는 결코 무한한 직선이 아니라 유한한 선분을 생각했다. 집합론에서 무한 집합을 규정하는 것은 무한에 관한 공리이다. 프레게 독일의 수학자·논리학자. 근대 수학논리의 기초를 세웠다. 철학과 수학의 경계선(수학의 철학과 수학논리)을 연구하여 근대 논리학 전체를 발달시킨 기초개념을 혼자서 알아냈고 그것으로 한 분야 전체를 창조했다.
와 러셀 영국의 논리학자·철학자. 수리논리학 분야의 저작들과 평화운동, 핵무장 반대운동을 비롯한 사회정치운동으로 유명하다. 1950년 노벨 문학상을 수상했다(→ 수학철학).
이 그 공리를 채택하지 않았다면, 그들은 유한 집합만을 다루었을 것이다. 종종 우리는 의식적으로 무한을 배제한다. 수렴하는 무한급수는 유한한 부분합의 수열로 해석한다. 이런 급수를 여전히 무한이라 부르지만, 위는 사실 유한한 부분 합에 관심이 있다. 그럼에도 불구하고 무수히 많은 항을 더한다는 ‘의미 없는’ 직관적인 개념은 여전히 ‘무한급수’의 핵심적인 의미로 남아 있다.
대상과 과정
프레게는 수를 추상적인 대상이라고 했다. 수를 포함해서 플라톤의 이데아는 어떤 종류의 대상이다. 그러나 직관주의자와 형식주의자는 수가 대상이라는 점을 부인한다. 크라이젤 독일의 철학자. 추종자들이 많았으며, 특히 스페인에서 크라우제주의자로 알려진 그의 제자들은 19세기 후반과 20세기 초반 스페인의 교육정책에 커다란 영향을 미쳤다.
과 퍼트남은 필요한 것은 대상이 아니라 객관성이라고 말한다. 수는 객관적이다. 우리는 수가 대상인지 아닌지에 대해 근심할 필요가 없다. 어떤 사람은 말한다. “수는 존재한다. 그것은 내가 지금 앉아 있는 의자처럼 명백하다”다른 사람은 말한다. “이 의자가 존재한다는 것과 같은 의미에서 수가 존재하지 않는다는 점은 자명하다.” 두 명제는 모순되지 않는다. 모두 옳다. 만약 ‘존재’에 대한 설명을 미리 듣지 못했다면, 수가 존재하거나 그렇지 않다고 알려주더라도 수에 대한 지식은 증가하지 않을 것이다. 프레게는 산술의 기초에 대한 뛰어난 논의에서 ‘존재’의 의미와 ‘대상’의 의미에 대한 설명을 삼갔다. 때때로 ‘대상’은 형태와 크기가 있거나 없는 물질적인 실체를 뜻하는 것으로 보인다. 그렇다면 원자는 대상이다. 전자, 광자, 쿼크 물질의 기본적인 구성입자로 추측되는 원자구성입자의 하나.
도 그렇다. 그러나 이런 수준에서는 대상과 과정 사이의 경계가 무너진다. 관찰하는 방법에 따라서 전자, 양성자, 광자는 입자와 같은 습성을 갖거나 파동과 같은 습성을 갖는다. 이런 모든 설명에서 대상은 개인의 의식과 독립접이다. 대상은 비교적 영구적인 성질을 가지고 있다. 대상은 적절한 감각 기관과 적절하게 훈련된 눈과 뇌를 가진 사람이면 누구나 적절한 과학 기구를 사용해서 관찰하거나 체험해볼 수 있다.
존재와 비존재
서로 다른 형태의 존재가 있다. 또한 서로 다른 형태의 비존재가 있다. 그리스 신화에 나오는 아름다운 날개가 달린 말 페가수스에 대하여, 나는 다음과 같이 말할 수 있다.
그와 같은 신화는 없다(거짓)
그와 같은 물질적 대상은 없다(참)
그와 같은 생물학적 실재는 없다(참)
사람의 마음속에 그와 같은 생각은 없다(거짓)
수학에서 비존재의 문제는 불가능의 문제이다. “이 문제에 대한 답은 존재하지 않는다.”라는 말은 “그 문제를 풀기는 불가능하다”를 뜻한다. 종종 어떤 것의 비존재는 다른 것의 존재와 동치이다. 유클리드는 가장 큰 소수, 즉 다른 모든 소수보다 더 큰 소수는 존재하지 않는다는 사실을 증명했다. 비존재! 오늘날 이 사실에 대한 보편적인 진술은 다음과 같다. “무수히 많은 소수가 존재한다.” 무한대의 존재!
수학은 ‘존재’가 전문 용어로 사용되는 유일한 과학이다. 수리 철학들 사이의 불일치는 주로 수학적 대상의 존재에 관한 것이다. 수학과 대학원 상급생은 존재성에 관한 증명 여부를 구별할 수 있다. 그러나 존재는 무엇을 뜻하는가? 어떠한 의미에서 어떤 것이 존재하는가? 수학적 존재는 종종 두 가지 종류, 즉 구성적인 존재와 간접적인 존재로 구분된다. 구성적인 존재는 이미 알려진 대상으로부터 유한 번의 단계 내에 얻을 수 있거나 유한 번의 단계 내에 임의로 작은 오차의 한계에서 얻을 수 있음을 의미한다. “A의 부정이 불가능하다.”를 증명함으로써 “A는 반드시 참이다”를 증명하는 간접 증명에 대한 논쟁이 있다. 전통적인 수학자가 받아들이는 간접 증명을 직관주의자와 구성주의자는 거부한다.

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