특수상대성이론의 수학적 정리

목차

1. Lorentz( Hendrikic A. Lorentz, 1853∼1928. Netherlands) 변환
2. 속도에 관한 특수 상대성 이론
3. 길이(Length)에 관한 특수상대성이론(Lorentz 수축)
4. 질량(Mass)에 관한 특수 상대성 이론
.....

본문내용

NT _{ 0}^{V } m_0 Vd LEFT ( V over { SQRT { 1-( V over C )^2 }} RIGHT )~=~ m_0 INT _{ 0}^{V } Vd LEFT ( V over { SQRT { 1-( V over C )^2 }} RIGHT )
여기서 부분적분법
INT xdy ~=~ xy ~-~ INT ydx
를 이용하여
x~=~V~, ~dy~=~d LEFT ( V over SQRT { 1-( V over C )^2 }} RIGHT )
이다.
즉,
dx~=~dV~, ~y~=~ INT d LEFT ( V over SQRT { 1-( V over C )^2 }} RIGHT) ~=~ V over {SQRT { 1-( V over C )^2 }}
이다. 전개하면
m_0 INT _{ 0}^{V } Vd LEFT ( V over { SQRT { 1-( V over C )^2 }} RIGHT ) ~=~ m_0 V^2 over SQRT { 1~-~ ( V over C )^2 } ~-~ INT _{ 0}^{V } m_0 V over SQRT { 1~-~ ( V over C )^2 } dV
여기서 우변의
적분 항을 계산하기 위해 치환적분법을 사용하자.
k~=~ 1~-~( V over C )^2
이라 하면,
dk~=~ -2C^-2 VdV~, ~ 즉~~dV~=~ 1 over { -2VC^-2 } dk
이므로
INT _{ 0}^{V } {m_0 V} over SQRT { 1~-~ ( V over C )^2 } dV ~=~ -{m_0 C^2 } over 2 INT _{ 1}^{1-( V over C )^2 } k^{- 1over 2 } dk ~=~ -m_0 C^2 LEFT [ root k RIGHT~ ] _1 ^ { 1- ( V over C )^2 }
이므로
~=~ -m_0 C^2 LEFT [ root k RIGHT~ ] _1 ^ { 1- ( V over C )^2 }~=~ -m_0 C^2 LEFT [ LEFT ( 1 - ( V over C )^2 RIGHT )^ { 1 over 2} ~-~ 1 RIGHT ]
이다. 즉
INT _{ 0}^{V } {m_0 V} over SQRT { 1~-~ ( V over C )^2 } dV ~=~ m_0 C^2 ~-~ m_0 LEFT [ 1 ~-~( V over C )^2 RIGHT ] ^ { 1 over 2 } C^2
이다. 그리고
m_0 INT _{ 0}^{V } Vd LEFT ( V over { SQRT { 1-( V over C )^2 }} RIGHT ) ~=~ m_0 V^2 over SQRT { 1-( V over C )^2 } ~-~ LEFT ( m_0 C^2 ~-~ m_0 LEFT [ 1 ~-~( V over C )^2 RIGHT ] ^ { 1 over 2 } C^2 RIGHT )
우변을 정리하면
{ m_0 V^2 ~+~ m_0 LEFT [ 1 ~-~( V over C )^2 RIGHT ] C^2 ~-~ m_0 C^2 SQRT { 1~-~ ( V over C )^2 } } over SQRT { 1~-~ ( V over C )^2 } ~=~ {m_0 C^2} over SQRT { 1~-~ ( V over C )^2 } ~-~ m_0 C^2
즉, 운동에너지 K는
K~=~ { m_0 C^2 } over SQRT { 1~-~ ( V over C )^2 } ~-~ m_0 C^2
이다. 그리고 여기서
m~=~ m_0 over SQRT { 1~-~ ( V over C )^2 }
이므로
K~=~ mC^2 ~-~ m_0 C^2
이다. 그러므로
mC^2 ~=~ K ~+~ m_0 C^2
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이다.
※ 임의의 질량체가 가지고 있는 총 에너지( E )는
E~=~mC^2
으로 표현되어져야 한다.
참고문헌:
Charles Kittle, Walter D. Knight, Malvin A. Ruderman, 1973. Mechanics. Library of Congress Cataloging in Publication Data.
Arthur Beiser, Concept of Modern Physics, 1991. 현대물리학, 장준성, 이재성, 1994. 형설출판사.
Grant R. Fowles, Analytical Mechanics 4th editon, 1986. 임우영 외 3인, 역학, 1993. 반도출판사.

키워드

특수상대성이론,   수학적 정리