대안교과서 소고(실수의 개념)

목차

Ⅰ. 대안 교재는 왜 필요한가?
Ⅱ. 실수개념 지도를 위한 대안 교과서의 예
1. 학습목표

2. 수업소재 제시 및 탐구


3. 실수개념 정리
Ⅲ. 글을 마치며

본문내용

주었던 것은 '피타고라스 정리`이다. 그런데 역설적으로 이 정리로 인하여, 만물의 척도로서의 수의 역할은 붕괴되기 시작하였다. 마법사가 자신의 마법으로 불러낸 괴물에게 잡혀먹은 꼴이라고나 할까?
3. 실수개념 정리
1) 실수
실수는 성질이 다른 두 부분(유리수와 무리수)으로 구성되어 있다.
▶ 유리수 : 두 정수
m,~n
(≠0)에 대하여
{ m} over {n }
꼴로 나타내어지는 수 ▶ 무리수 : 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 순환하지 않는 무한소수
※ 무리수 발견의 충격
히파수스의 증명이 있기 전까지 피타고라스 학파 사람들은 정수와 정수의 비로 모든 기하적인 대상을 표현할 수 있다고 믿고 있었다. 비록 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 나타낼 수 있는 분수를 아무도 찾지는 못하였어도, 그들이 아직 찾지 못한 어떤 정수의 비가 존재할 거라는 믿음이 있었다. 피타고라스 학파는 다른 수의 존재의 필요성을 받아들이려 하지 않았다. 따라서 히파수스가 정사각형의 대각선을 표현할 수 있는 어떤 다른 수도 존재하지 않음을 증명해 보이자, 그들은 혼란에 빠졌고, 대각선의 길이를 근사적으로 나타내려 하였다. 실제로, 그들은
SQRT { 2}
는 수가 아니라고 주장하였다.
2)
sqrt2``
는 유리수가 아니다.
<증명> 결론을 부정하여 가정에 모순됨을 보이자.(귀류법에 의한 증명)
대각선의 길이
x=sqrt2`
가 유리수라고 가정하면,
서로 소인 양의정수
a,~b`
에 대하여
sqrt2` =` a over b`
로 나타낼 수 있다.
양변을 제곱하여 정리하면
a^2 `=` 2b^2 `
……… ①
여기서,
a^2 `
은 짝수이므로
a`
도 짝수이어야 한다.
여기서
a`=`2m`
(
m`
은 양의 정수)으로 놓을 수 있고, 이를 ①에 대입하면
(2m)^2 `=`2b^2 `
THEREFORE ~b^2 `=` 2m^2 `
……… ②
②에서
b^2 `
이 짝수이므로
b`
도 짝수이어야 한다.
이는
a,~b`
가 서로 소라는 가정에 모순이다.
따라서
sqrt2`
는 유리수가 아니고 무리수이다. <증명 끝>
Ⅲ. 글을 마치며
위 글이 수학교육적으로 얼마나 유효 적절한지에 대한 정확한 판단을 내릴 식견을 필자는 가지고 있지 못하다. 하지만 필자의 의도는 분명히 제시하였다고 본다.
수학교사의 가슴속에 응어리 진 답답함을 씻어줄 한 줄기 단비가 그립다. 오늘도 난 분필을 들고 교실을 향한다.

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대안교과서,   소고,   실수