컴퓨터를 통한 수학 학습과 수학적 오류의 진단·처방 문장제 학습에의 적용

목차

1. 들어가며..

2. 이론적 배경

3. 문장제의 중요성

4. 문제의 해결 전략과 오류의 원인

5. 문장제의 실례와 오류의 진단․처방

본문내용

재하므로, 즉
n
개이므로 전체 숫자의 합은
n(n+1)
이다. 그러나, 홀수들의 합에서는 1부터
2n-1
이라는 홀수까지 홀수의 개수가
n
개임에도 불구하고, 위의 문제에서 1부터
n
까지 일 때
n
을 곱한 것 처럼 1부터
2n-1
까지이므로
2n-1
을 곱해야한다는 오류를 범하고 있다.
이 때에도, JavaMAL DGS를 이용하여 애니메이션으로 기하적으로 증명의 원리를 가르침으로써 오류도 바로잡고, 기하와 대수학습을 통합하며 창의력까지 기를 수 있는 일석 삼조의 효과를 거둘 수 있다.
n^2
개의 사각형으로 이루어진 큰 정사각형이 있다고 가정하자. 아이들에게는
n=6
인 경우의 상황을 제시하였다고 하자. 보기 편하게 홀수번째 경우에만 색칠하기로 하면, 첫 번째 사각형만 색칠한 그림은 다음의 첫 번째 그림과 같다. 계속 색칠해나가면, 첫 번째 부분은 사각형이 1개, 두 번째 부분은 사각형이 3개, 세 번째 부분은 사각형이 5개.. 이렇게 홀수개의 사각형으로 이루어져 있다는 것을 알 수 있다. 마지막으로 여섯 번째는 사각형 11개로 이루어져 있다. 첫 번째 부분의 사각형부터 여섯 번째 부분의 사각형까지의 개수의 합은
1+3+5+7+9+11=6 ^2
이다. 즉, 1부터 6개의 홀수의 합이
6^2
이다. 따라서 1부터
n
개의 홀수의 합인 1부터
2n-1
까지의 홀수의 합은
1+3+5+...+(2n-1) = n^2
임을 알 수 있다.
6. 마치며..
지금까지 몇 가지 문장제와 거기서 발생할 수 있는 오류의 사례, 그리고 그 오류를 어떤 식으로 바로잡을지에 대한 방향에 대하여 생각해보았다. 물론 오류를 진단하기 위해서는 문제에 대한 학습자의 풀이를 입력받고 그것이 정답인지 아닌지 판단할 수 있고 그에 따라 수준에 알맞는 문제를 제시할 수 있는 일종의 알고리즘이 필요하다는 전제는 필수적이다. 여기서 다룬 문장제는 주로 방정식에 관련된 것이고, 함수까지 연관되기 보다는 오히려 방정식을 사용하지 않고도 대수적으로 해결되는 문제들이라 거북기하를 많이 활용할 수는 없었다. 그렇지만 조금 억지일지는 몰라도 위의 몇 문제와 같이 JavaMAL DGS 등 마이크로 월드에서의 visual한 체험을 통해 수학적 오류를 바로잡는 시도를 한다면, 아이들이 적어도 흥미를 가질 수 있다는 것만이라도 성공을 거두는 것이라고 생각된다.
컴퓨터를 통한 수학교육은 현재 서울대학교 사범대학에서 실시하고 있는 영재교육과 같이 보통 아이들보다 뛰어난 아이들이 더 풍부한 창의력을 키울수 있고 더 뛰어난 문제해결력을 기르는데 유용하다. 그렇지만 나는 오히려 수학에 흥미를 느끼지 못하고, 수학을 어려워하는 아이들에게 더 의미가 있다고 생각한다. 물론, 별다른 사전 지식 없이 DGS에서 점들을 움직이고 그림을 짜맞추는 것은 수학을 공부하는 데 있어 어떤 목적도 달성하기 힘들다. 하지만, 컴퓨터 없이 시중에 나와있는 책을 아무 문제없이 소화하는 아이들보다는, 거기서 어려움을 느끼는 아이들이 컴퓨터로 수학을 접할 때 좀 더 흥미를 가질 수 있고 이해하는데 도움이 될 것이다.
한 연구 결과에 따르면, 고등학생보다 중학생이 오히려 문장제를 더 잘 해결한다고 한다. 거기에는 크게 두 가지 이유가 있을 것이다. 첫째, 아이들이 지식을 습득함에 있어 그 당시에 오류가 없더라도 새로운 지식을 계속 습득하는 과정에서 기존의 지식과 충돌을 일으켜 오류가 발생하기 때문이다. 그렇기 때문에 앞에서 예로 든 것과 같은 오류의 진단과 처방이 필요한 것이다. 두 번째는 입시 위주의 교육 과정이 문제가 있기 때문이다. 단순히 기계적으로 공식을 잘 외우고 계산을 잘 하는 것, 유형별로 풀이 과정을 암기하여 문제를 잘 해결하는 것을 우선으로 여겨왔기 때문이다. 이를 개선하기 위해서는 일상 생활에서 일어날 수 있는 상황에서 수학적으로 사고하는 습관을 기르고, 단계적인 사고 과정을 중요하게 생각해야 한다.
따라서, 이런 상황에서 컴퓨터를 이용한 수학교육에는 크게 두 가지 방향이 있을 것 같다. 우선 여기서 다뤘던 문제인 오류의 진단과 처방, 그리고 창의력을 기르기 위한 도구로서의 기능이 그것이다. 오류를 진단하고 처방하는데 알고리즘이 필요하다고 앞서 말한 바 있는데, 현재 토플 시험에서 시행중인 CAT와 문제은행이 기본이 되어야 한다. 물론 컴퓨터를 통한 오류의 진단과 처방이 선생님이 학생을 1대1로 지도하며 학생의 오류가 어디 있는지 진단하고 어떻게 바로잡아야 할지 처방하는 것보다는 정확성이 떨어지고 강도 역시 떨어질 것이다. 하지만 우리 나라가 초고속 통신망 보급률이 매우 높다는 것을 활용하여 인터넷에 컨텐츠를 잘 구축한다면 학교 현장에서의 한계를 뛰어 넘는 학습 효과를 거둘 수 있을 것이다. 또한, LOGO나 JavaMAL DGS를 인터넷 상에서 아이들이 직접 다루어 무엇인가를 만들고, 수학적 실험을 함으로써 창의력 신장에도 도움이 될 것이다.
이번 과제물 주제를 문장제로 잡은 것은 동생을 가르치다가 동생이 쉬운 방정식 계산도 자꾸 틀리고, 더구나 문장제에서는 식 세우는 것도 힘들어 하는 것을 보았기 때문이다. 이것은 비단 내 동생만의 문제가 아닐 거라고 생각한다. 나도 수학 공부를 할 때, 문장으로 된 복잡한 문제보다는 간단한 계산 문제와 공식을 이용해 풀 수 있는 정도의 응용문제를 더 좋아했던 기억이 난다. 그렇지만 교직 과목을 듣지 않아 교육학에서 아는 바가 거의 없는 상태에서 과제를 하느라 하는 내내 내가 뭘 하고 있는지, 옳은 방향으로 나아가고 있는 것인지 의문이 많이 들었다. 마치고 보니 방정식의 내용을 담은 문장제를 다루긴 하였지만 너무 문장제라는데 초점을 맞추지 않았나 싶다. 또, 내용상 어쩔 수 없었지만 JavaMAL DGS의 특징을 제대로 활용하지 못한 것 같아 안타깝다. 하지만, 미숙하더라도 한 학기동안 배운 JavaMAL을 활용하여 뭔가를 해보니, 수학을 배우기 시작하는 위치에서 '저렇게 수학을 배우면 재밌겠다'는 생각이 들어서 아직 부족함을 많이 느껴도 뿌듯한 마음이 든다. 또, 이렇게나마 한 학기동안 컴퓨터와 수학교육에서 배운 내용을 되돌아보니 새롭고 유익한 경험이었던 것 같다. *^^*

키워드

컴퓨터를 통한 수학 학습과 수학적 오류의 진단·처방,   컴퓨터를 통한 수학 학습과 수학적 오류,   컴퓨터