수학교육론, 기출풀이

소개글

수학교육론, 기출풀이에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 형태심리학이라 일컬어지는 베르트하이머(Wertheimer)의 이론에서 생산적 사고 의 특성과 그를 위한 교수방법의 예를 들어보시오.
2. 가네(Gagne)의 학습위계이론이 학교 수업에 관하여 시사하는 바에 대하여 약술하시오.
3. 피아제Piaget의 반영적 추상화란 무엇인지 설명하고 피아제의 이론에 따르면 수학 학습 지도는 어떠해야 하는지를 서술하시오.
4. 경호가 배우는 10-나 단계의 교과서에 ‘원 에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식’을 구하는 과정이 다음과 같이 나와 있다.
원과 직선의 방정식을 각각
5. 다음 두 교사의 대화를 읽고 물음에 답하시오.

김 교사 : 저는 수학 수업에서 지식의 구조, 곧 기본적인 아이디어를 다루는 것이 중요하다고 생각합니다. 그러한 아이디어는 학생의 사고양식에 맞게 세 가지 표현으로 재구성할 수 있습니다. 세 가지 표현을 이용하면 어떤 지식이든 어떤 수준의 학습자라도 이해할 수 있도록 적절한 형태로 제시할 수 있습니다.
박 교사 : 저는 지식의 표현 방법도 중요하지만, 그 지식의 지도 순서도 중요하다고 생각합니다. 그래서 저는 학생들에게 일반적인 개념이나 원리를 먼저 지도하고, 이 개념을 발판으로 하여 이어지는 학습 내용을 점점 특수화하고 세분화하는 형태로 지도할 때 학생들에게 의미 충실한 학습이 될 수 있다고 생각합니다.

김 교사의 생각에 반영되어 있는 이론을 참고하여, 위 의 대화에서 김 교사가 말한 ‘세 가지 표현’이 무엇인지 쓰시오. 그리고 김 교사가 “삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다.”는 성질을 지도하고자 할 때, 가장 낮은 수준의 학생들도 이해할 수 있도록 삼각형모양의 종이를 활용하여 이 성질을 표현하는 과정을 구체적으로 쓰시오.

6. 스켐프(R. Skemp)는 수학적 개념에 대한 이해 유형의 일부로 도구적 이해와 관계적 이해를 비교하여 설명하였고, 수학 학습-지도에서는 궁극적으로 수학적 개념에 대한 관계적 이해를 목표로 해야 한다고 주장하였다. 김 교사가 학생들이 ‘이항’을 어떻게 이해하고 있는지 알아보기 위해 일차방정식 문제를 풀게 하였더니, 학생 A와 학생 B가 아래와 같이 동일한 방법으로 문제를 풀었다.

등등...

본문내용

받아서 변하고 넓어지고 깊어짐이 계속되는 과정
수학은 확실성을 추구하는 인간의 정신적 활동이며, 물리적 사회적 정신적 세계들의 현상을 조직하는 도구, 현상과 본질의 교대작용에 의한 사고수준의 상승과정이다. 수학적 사고 활동의 가장 본질적인 특성은 반성적 사고에 의한 끊임없는 ‘재조직화’이다. 이렇듯 현상을 수학적 수단에 의해서 조직하는 것을 수학화라 한다.
단지 매일 매일의 문제 상황을 수학적인 용어로 개작하는 과정만을 나타낸 것으로서가 아닌, 수학의 발달이라는 입장에서 현상이 수학자의 필요와 선호에 어울리도록 손질되는 과정을 묘사하는 용어다.
- 수직적 수학화
㉠수학적 처리를 더욱 세련되게 조직하는 것
㉡수학적 경험이 축적되면서 수학자체의 수학화가 이루어지는 단계
예1) 덧셈의 성질(교환법칙)으로 인식
예2) 체계화된 구슬을 보고 개수를 세기 위해 덧셈이나 사칙연산을 적용하는 것
(2) 프로이덴탈의 수학화 교수·학습 방법과 미분 개념의 역사발생적 과정을 토대로 미분계수 개념의 교수·학습을 위한 내용 요소를 순서를 고려하여 3가지 제시하시오 .
* 함수 f(x)에서 변수 x의 변화량인 증분과 증분의 비인 평균변화율을 이해한다.
* x의 증분을 아주 작게 하였을 때 평균변화율의 비가 미분계수임을 이해한다.
* 미분계수의 기하학적 의미를 이해한다.
9. 반 힐레(van Hiele)의 학습 수준 이론의 특징과 그 이론이 수학과 교수-학습 과정에 대하여 시사하는 바를 논하시오.
반 힐레의 학습 수준 이론의 특징은 크게 다섯 가지로 살펴볼 수 있다.
첫째, 사고는 상대적인 수준이 있는 불연속적인 활동으로서 수학 학습에서 하위 수준을 통과하지 않고 상위 수준에 도달할 수 없으며, 수학적 사고는 모든 수준을 순차적으로 거쳐서 발달하게 된다는 것이다. 즉, 학생들은 n-1 수준을 통과하지 않고는 n수준에 도달할 수 없다.
둘째, 모든 학생들이 같은 속도로 각 수준을 통과하는 것은 아니며, 수준의 이행은 적절한 학습 지도에 의해 촉진될 수도 있고 부적절한 지도 때문에 지연될 수도 있다는 것이다. 한 수준에서 다음 수준으로의 발달은 나이나 신체의 성숙보다 교육의 내용이나 방법에 더 많이 의존하다.
셋째, 더 높은 수준에서는 낮은 수준에서의 행동이 분석의 대상이 된다는 것이다. 다시 말해서, 전 수준에서는 사고의 수단이었던 것이 다음 수준에서는 사고의 대상이 되며, 전 수준에서 암묵적으로 이해된 개념이 그 다음 수준에서는 분명하게 이해된다. 다시 말해서, 제 1수준은 주변 사물이라는 대상을 도형이라는 수단에 의해 파악하는 단계이며, 제 2수준은 도형이라는 대상을 도형의 성질이라는 수단에 의해 사고하는 단계이다. 제 3수준은 도형의 성질이 사고 대상이 되고, 그러한 도형의 성질을 명제라는 수단으로 파악하는 단계이다. 제 4수준에서는 명제가 사고의 대상이 되고 논리를 수단으로 그러한 명제들을 파악하며, 제 5수준에서는 논리 그 자체가 연구의 대상이 된다.
넷째, 각 수준이 그 자체의 언어적 상징과 그 상징들을 연결하는 관계체계를 가지고 있음을 의미한다. 따라서 수준의 상승은 언어의 확장과 관계된다.
다섯째, 서로 다른 수준에서 추론하는 두 사람은 서로를 이해할 수 없다는 것이다. 이것은 교사와 학생 사이에서 자주발생하는 현상이며 학습 지도를 어렵게 만드는 요인이 되고 있다.
이와 같이 반 힐레는 수학의 학습 과정을 수준 이론으로 설명하면서, 전 수준에서의 사고의 수단이 다음 수준에서는 사고의 대상이 되는 사고의 비약으로 보고 있다. 이러한 관점은 수학을 현상이 그것을 정리하는 수단인 본질로 조직되고, 그 본질은 다시 현상이 되어 새로운 본질로 조직되는 끊임 없는 재조직화의 과정인 수학화로 규정한 프로이덴탈의 관점과 일맥상통한 면이 있다고 할 수 있다.
10. 다은이는 다음 문제를 해결하려고 애쓰고 있다.
학교에서 집까지의 거리는 200m이고, 집에서 경찰서까지
의 거리는 250m이다. 집에서 학교와 경찰서를 바라본 각
의 크기가 60°일 때, 학교에서 경찰서까지의 거리를 구하
여라. 잠시 후 교사가 다가와 다음과 같이 말하였다.
“다은아, 제2코사인 법칙을 적용하면 되지 않을까?”
다은이는 교사의 이러한 발문에 힘입어 문제를 쉽게 해결
하였다.
교수학적 변환 (didactic transposition)의 관점에서 위에 제시된 수업 상황을 20자 내외로 평가하시오.
교수 학적 변환의 관점에서 볼 때 극단적인 현상으로서 토파즈 효과이다. 즉, 교사는 구체적인 문제해결을 위한 공식을 제시함으로써 중분한 사고과정을 생략한 채 쉽게 문제 해결에 이르게 한다. 이는 탈개인과 탈배경화의 과정을 간과한 결과이다.
11. 다음은 공학 도구를 활용하여 피타고라스 정리의 기하학적 의미를 탐구하는 과정에서 김 교사와 학생들이 나눈 대화 의 일부이다. (단, 모든 학생들의 수학 지식이 9-나 단계의 수준을 넘지 않는다고 한다.)
(김 교사는 공학 도구를 가지고 피타고라스 정리의 기하학적인 의미를 [그림 1]을 이용하여 설명한 후, 학생들에게 직접 작도하여 확인해 보도록 하였다.)
CDEA = 7.66
ABGF = 5.80
BCIH = 1.86
CDEA-(BCIH+ABGF)=0.00
HICB = 0.91
FGBA = 7.87
DEAC = 4.92
FGBA-(DEAC+HICB)=2.04
[그림 1]
(진영이는 실수로 [그림 2]와 같이 직각삼각형이 아닌 삼각형을 작도하여 관찰하고 있다.)
진영：(혼잣말로) 이렇게 그린 다음 … 이것을 움직이면 …음 …….
[그림 2]
김 교사：① 아! 진영이는 제이코사인법칙을 발견했구나. 정말 대단하네!
= 공학 도구를 활용한 수업에서 나타날 수 있는 극단적인 교수 현상 중 ①에 해당하는 것을 제시하고, 제시한 현상의 의미를 위의 상황과 관련지어 설명하시오.
①에 해당하는 극단적인 교수 현상： 조르당 효과
현상의 의미：실제로 진영이는 제이코사인법칙을 알지 못하지만 김 교사는 진영이가 이해할 수 있는 수준이 아니어서 토론하기도 힘들고 그냥 넘어가기도 어려운 상황이어서 이러한 단서로 진영이가 제이코사인 법칙의 지식이 형성된 것으로 인정해 버린 것이다.

키워드

수학교육론,   수학교육신론,   인하대학교교육대학원