Scheduling Problems 동시공학 과제 (Johnson`s Algorithm, Jackson`s Modification of Johnson`s Algorithm, Three-Machines Flow Shop Scheduling, A Single Machine Scheduling with Changeover Cost)

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Scheduling Problems 동시공학 과제 (Johnson`s Algorithm, Jackson`s Modification of Johnson`s Algorithm, Three-Machines Flow Shop Scheduling, A Single Machine Scheduling with Changeover Cost)에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

지의 최단거리를 d[u]라고 두면, d[]에 대해 다음이 성립한다:
모든 간선 (u,v)에 대해 d[v] <_ d[u] + w(u,v), 이 때 w(u,v)는 해당 간선의 가중치
생각해 보면 이 속성은 매우 자연스럽다는 것을 알 수 있다. Johnson 의 최단거리 알고리즘은 가중치 보정을 위해 바로 이 속성을 이용한다.
2.2 가중치의 보정과 최단 거리의 유지
이와 같은 값을 어디에다 쓸 수 있단 말인가? 위에서 얘기한 속성
d[v] <_ d[u] + w(u,v)
이 도움이 된다. 위 부등식에서 d[v]를 우변으로 옮기면,
d[u] + w(u,v) - d[v] >_ 0
을 얻을 수 있다. 이 때 이 좌변의 값을 보정된 가중치 w'(u,v) 로 잡자. 그러면, 이 보정된 가중치는 항상 음수가 아니라는 것을 알 수 있다.
위 그래프는 이와 같은 보정을 거친 그래프 G(V', E')를 보여준다. 이 그래프에선 더 이상 음수 간선이 없다는 것을 확인할 수 있다.
물론, 단순히 음수 간선을 없애는 것은 모든 간선의 가중치의 절대값을 취해 주는 것만으로도 충분하다. 우리가 이 변형을 사용하는 이유는 이 변형한 그래프에서 두 정점 사이의 최단 경로가 원래 그래프에서의 최단 경로와 동일하기 때문이다. 이것 또한 쉽게 증명할 수 있다.
임의의 정점 s와 t를 잇는 두 경로 Pv=(s,v1,v2,…,vn,t) 와 Pu=(s,v1,v2,…,vm,t) 를 생각하자. 이 때, 변형된 그래프에서 각 경로의 길이는 각각
그러면, 변경된 그래프에서 두 경로의 길이는 정확하게 원래 그래프에서의 길이에 d[s] - d[t] 를 더한 것이 된다. 모든 경로의 길이에 똑같은 값을 더하기 때문에, 변경된 그래프에서의 최단 경로는 원래 그래프에서도 최단 경로가 된다.
2.3 그래프의 변형과 Bellman-Ford 알고리즘
Johnson 의 최단 거리 알고리즘은, 그래프 G(V,E) 가 주어질 때, 그래프의 모든 정점과 연결되는 슈퍼소스 (supersource) 정점 를 추가한다. 이 때, 는 모든 정점으로 나가는 단방향 간선이 있으며, 모든 간선의 가중치는 0 이다.
위 그림들이 이 과정을 보여준다. 오른쪽 그림은 왼쪽 그림의 주어진 그래프에 s를 추가한 그래프이다. (점선으로 표시된 간선들이 새로 추가된 간선들이다)
Johnson 의 최단 거리 알고리즘은 이와 같은 변형 과정을 거친 그래프에서, s를 시작점으로 하는 Bellman-Ford 알고리즘을 수행해 다른 모든 정점까지의 최단 거리를 구한다 - 이 최단 거리를 h라고 하자. 아래 그림은 각 정점별로 계산된 h값을 보여준다.
에 따라, 다음과 같이 새로운 가중치들을 갖는 그래프 G'를 얻을 수 있다.
이 때, 이 그래프에서의 모든 간선은 음수가 아니므로, Dijkstra 알고리즘을 사용해 간단히 모든 쌍의 최단 거리를 구할 수 있게 된다.
2. Single machine changeover scheduling
항목을 제조 환경에서는 각 제품의 생산을 위한 전용 기계를 가지고하는 것보다 제품을 생산 한 유연한 시스템을 가지고하는 것이 더 경제적입니다. 유연한 머신 환경에서, 정말 하나 제품을 생산하는 다른 제품에 역전 시설 등을 생산하는 데 필요합니다. 이 역전에 중점을 두고 있습니다. 또는 시스템 구성 각 제품은 가능성이 독특한 시스템 설정을 해야합니다 그와 연관된. 역전 한 설치에서 다른 시스템 구성의 전환입니다. 거의 모든 경우에, 역전의 대가는 혹독하기 때문에 관리해야합니다 활동입니다. 활동의 유형을 관리하는 것은 이후로, 다양한 제품에 changeovers를 만들기 어떤 순서로 생산하는 방법에 많은 제품의의 계획이 필요합니다. 이러한 계획은 일정이 언급됩니다. 이 논문에서 우리는 비교 한 및 예약 결정이 동적 인 결정 \수요 환경에서 단일 시스템을 위해 만든 방법에 봐. 많은 기업의 관리자들은 매우 높은 이월 비용을 암시, 거의 모든 비용 늦은 출하를 방지하려고, 따라서 우리는 수요 (가능한 경우) 시간에 충족되어야합니다 가정합니다. 우리는 수요가 결정이라고 생각하지만, 우리는 또한 수요 만 유한 시간 지평 알려져 있습니다 가정합니다. 우리는 오직 "관련 비용은"역전의 비용 있다고 가정합니다. 우리는 무시할 때와 무시하지 않을 때의 역전 시간의 경우 모두를 고려합니다. 우리가 위에 설명 된 문제를 참조로 논문에서, 우리는 최적 역전 예약 문제를 해결하는 절차를 개발할 수 있습니다. 우리는 역전 시간의 두 경우에 순서 독립적 인 역전 비용에 대한 문제에 대한 결과를 개발
(1) 비 무시할 긍정적 인 역전 시간은 존재하고 때
(2) 사람들이 무시할 때.
우리는 최적의 솔루션에서 낮은 범위를 얻기 위한 결과를 제공합니다. 우리는 최적 이전 버전 시간 접근의 대안으로 문제를 해결하기 위해 앞으로 시간 암시 - 열거 알고리즘을 개발하고 역전 시간이 존재하는 경우 지금까지 제시 한 이전 버전 시간 접근은 매우 유망 보이지 않는 때문입니다. 뿐만 아니라 앞으로 시간 예약 방법은 일반적으로보다 직관적이지만 예측 수평선 결과가 쉽게 앞으로 시간 알고리즘에서 얻을 수 있습니다. 우리는 이 논문에서 이러한 결과를 제시한다.
참고 문헌
Internet
- http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_relaxation
- http://en.wikipedia.org/wiki/Travelling_salesman_problem
- http://www.ens-lyon.fr/DI/wp-content/uploads/2012/01/LagrangianRelax.pdf
- http://www.aistudy.com/problem/traveling_salesman_problem.htm
Books
- Lasdon, Leon S.(2002). Optimization theory for large systems. Mineola, New York: Dover Publications, Inc..pp.
- Bertsekas, Dimitri P. (1999). Bonlinear Programming: 2nd Edition. Athena Scientific.

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