중등수학도형

목차

[1] 기본도형

1. 평행선의 성질

2. 삼각형의 합동조건

3. 직각삼각형의 합동조건

4. 다각형

5. 입체도형의 부피

6. 한붓그리기

7. 꼭지점, 변, 면의 개수 사이의 관계

7. 정다면체

[2] 삼각형의 성질

1. 이등변삼각형의 성질

2. 삼각형에서 수선의 길이의 합

3. 삼각형의 닮음조건

4. 직각삼각형의 닮음

5. 각의 이등분선

6. 종이 접기

7. 평행선과 선분의 길이의 비

8. 삼각형의 중점연결 정리

9. 닮은도형의 넓이와 부피의 비

[3] 삼각형의 오심

1. 외심

2. 내심

3. 무게중심

4. 수심

5. 방심

6. 삼각형의 내심, 외심, 방심, 수심

[4] 사각형의 성질

1. 평행사변형의 성질

2. 평행사변형이 되는 조건

3. 여러 가지 사각형의 성질

[5] 피타고라스의 정리

1. 피타고라스의 정리

2. 피타고라스의 정리의 증명

3. 최단거리

4. 피타고라스의 정리의 활용

5. 내접과 외접

[6] 원의 성질

1. 호와 현

2. 원과 직선의 위치관계

3. 원의 접선

4. 두 원의 위치관계

5. 공통현과 공통접선의 길이

6. 원주각

7. 네 점이 한 원 위에 있을 조건

8. 원과 비례

본문내용

arignon 의 문제
□ABCD가 평행사변형이면
2. 평행사변형이 되는 조건
사각형이 다음의 어느 한 조건을 만족하면 평행사변형이 된다.
① 두 쌍의 대변이 각각 평행하다. (정의)
② 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
③ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
④ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.
3. 여러 가지 사각형의 성질
① 직사각형, 마름모, 정사각형은 모두 평행사변형이다.
② 직사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분한다.
③ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.
④ 정사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분한다.
[예] △ABC의 각 변을 각각 한 변으로 하는 정삼각형 ABD, ACF, BCE를 그리면
따라서, □EDAF는 평행사변형이 된다.
[연구학습] 다음 그림의 는 마름모이다. 변의 연장선 위에인 점를 잡고인 직사각형을 그렸다. 직사각형의 넓이가 일 때, 마름모의 넓이를 구하시오.
[5] 피타고라스의 정리
1. 피타고라스의 정리
① 직각삼각형 ABC에서
∠A = 90°이면
ⅰ) ⅱ)
ⅲ) ⅳ)
② 삼각형 ABC에서
2. 피타고라스의 정리의 증명
① 유클리드의 증명법
따라서, □BFML=□ADEB
마찬가지 방법으로,
□LMGC=□ACHI 이다.
그러므로 □BFGC = □ADEB + □ACHI 이다.
즉,
② 피타고라스의 증명법
□ADEF가 정사각형일 때
□ADEF
= □BGHC+4△ABC
이므로
③ 바스카라의 증명법
3. 최단거리
직육면체 ABCD-EFGH에서 꼭지점 A에서 출발하여 면을 따라 꼭지점 G까지 가는 최단경로는 다음 그림에서 두 선분 ① 과 ② 중의 하나가 된다.
[예] 다음 그림의 원뿔에서 밑면 위의 한 점 A에서 출발하여 한 바퀴 돌아 점 B까지 가는 최단 경로는 원뿔의 전개도에서 선분 AB로 나타내어진다.
4. 피타고라스의 정리의 활용
① ②
③ 다음의 각 경우에 □ABCD 가 직사각형이면 이 성립한다.
ⅰ) ⅱ)
④ ⑤
⑥ 대각선의 길이
- 한 변의 길이가 a 인 정사각형의 대각선의 길이는 이다.
- 두 변의 길이가 a, b 인 직사각형의 대각선의 길이는 이다.
- 한 모서리의 길이가 a 인 정육면체의 대각선의 길이는 이다.
- 세 모서리의 길이가 a, b, c 인 직육면체의 대각선의 길이는 이다.
⑦ 한 모서리의 길이가 a 인 정사면체의 높이는이고, 부피는 이다.
⑧ 세 면 ABCD, BFGC, CGHD 의 넓이를 각각 이라고 할 때, 이 직육면체의 부피는 이다.
⑨ 세 면의 대각선의 길이를 라고 할 때, 이 직육면체의 대각선의 길이는이다.
⑩ 중선의 정리(Pappus의 정리)
⑪ ⑫
5. 내접과 외접
① △ABC 는 정삼각형, □DEFG는 정사각형
일 때
② □ABCD, □EFGH 가 정사각형일 때,
이면
③ 두 원 에서
이므로
④ △ABC가 정삼각형일 때,
이므로
[6] 원의 성질
1. 호와 현
한 원 또는 합동인 두 원에서
① 크기가 같은 두 중심각에 대한 호의 길이는 서로 같다. 또, 그 역도 성립한다.
② 길이가 같은 두 호에 대한 현의 길이도 서로 같다. 또, 그 역도 성립한다.
③ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 또, 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다.
예] 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이는
④ 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 서로 같다. 또, 그 역도 성립한다.
⑤ 호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다.
또, 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 비례한다. 그러나 현의 길이는 중심각의 크기에 비례하지 않는다.
⑥ 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 x°, 호의 길이를 l, 부채꼴의 넓이를 S라고 하면
⑦ 원 O의 임의의 현AB를 연장하여가 되게 점 C를 정하여, 및 그 연장선이 원과 만나는 점을 각각 E, D 라고 하면
2. 원과 직선의 위치관계
원 O의 반지름의 길이를 r, 원의 중심에서 직선 l 까지의 거리를 d 라고 하면
① 두 점에서 만난다. ② 접한다. ③ 만나지 않는다.
3. 원의 접선
① 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직이다.
② 원 위의 한 점을 지나고, 그 점을 지나는 반지름에 수직인 직선은 이 원의 접선이다.
③ 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.
[예] 아르키메데스의 문제
이면, 세 호 AB, AC, BC 로 둘러 싸인 부분의 넓이는 CD를 지름으로 하는 원의 넓이와 같다.
4. 두 원의 위치관계
두 원의 반지름의 길이가 각각 , 중심거리를 d 라고 하면
① 외부에 있다. ② 내부에 있다.
③ 두 점에서 만난다.
④ 외접한다. ⑤ 내접한다.
5. 공통현과 공통접선의 길이
① 두 원이 두 점에서 만날 때, 공통현은 중심선에 의하여 수직이등분된다.
② 두 원이 접할 때, 그 접점은 중심선 위에 있다.
③ 공통외접선의 길이 ④ 공통내접선의 길이
[예] ⅰ) 다음 그림에서 r : R을 구하면?
ⅱ) 다음 그림에서 일 때, 임을 보여라.
6. 원주각
① 한 원에서 원주각의 크기는 중심각의 크기의 반이다.
② 한 원에서 반원에 대한 원주 각의 크기는 90°이다.
③ 한 원에서 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 같다. 또, 그 역도 성립한다.
④ 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 또, 그 역도 성립한다.
⑤ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이다. 또, 그 역도 성립한다.
⑥ 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다.
즉,
7. 네 점이 한 원 위에 있을 조건
다음의 각 경우에 네 점 A, B, C, D 는 한 원 위에 있다.
① ∠ACB = ∠ADB 일 때 ② ∠A+∠C = 180°일 때
③ ∠D = ∠CBE 일 때
④ 일 때
8. 원과 비례
① 한 원의 두 현 AB, CD 또는 그 연장선이 서로 만나는 점을 P 라고 하면
② 원의 외부의 한 점 P에서 이 원에 그은 접선과 할선이 원과 만나는 점을 각각 T, A, B 라고 하면

키워드

중등수학도형,   평행선의 성질,   삼각형의 합동조건,   다각형,   입체도형의 부피