[고등학생 대학입시 학종 논문] 중간값 정리 ․평균값 정리를 적용한 과속 단속의 효율성 증대

소개글

[고등학생 대학입시 학종 논문] 중간값 정리 ․평균값 정리를 적용한 과속 단속의 효율성 증대에 대한 보고서 자료입니다.

목차

초록

중간값 정리․평균값 정리는 고교과정으로는 완전히 증명할 수 없어서 이해하기가 어렵다. 이 중간값․평균값 정리를 여러 가지 실생활과 접목하여 이해한다. 또한 과속의 유형을 여러 가지로 나누고 중간값․평균값 정리를 적용하여 고속도로에서 과속단속을 기존의 과속 단속카메라보다 정확하고 효율적으로 단속할 방법을 찾는다.

본문내용

과 하나의 직선이 주어졌을 때, 그 직선과 평행하면서 단면의 넓이를 이등분하는 직선이 중간값의 정리에 의하여 존재한다.
롤케익을 자른 단면과 직선이 다음과 같이 주어졌다고 하자(단, )
직선이 위치에 있을 때, 을 기준으로 왼쪽 부분의 면적이 오른쪽 부분의 면적보다 작다는 것을 직관적으로 확인할 수 있다. 그리고 직선이 위치에 있을 때, 를 기준으로 왼쪽 부분의 면적이 오른쪽 부분의 면적보다 크다는 것 역시 직관적으로 확인할 수 있다. 이 때 직선 이 같은 기울기를 유지하면서 쪽으로 서서히 움직인다면 과 사이에 무수히 많은 직선이 존재할 것이다.
여기서 위의 무수히 많은 직선에 무수히 많은 연속된 실수를 대응시키면 이는 연속함수가 되며 그 결과 중간값의 정리가 성립한다. 따라서 이 중간값의 정리에 의하여 단면의 넓이를 이등분하는 직선()가 존재하게 된다.
2) 중간값평균값 정리의 적용
중간값평균값 정리를 이용하면 자동차의 과속 여부를 알 수 있다. 주행의 유형에는 여러 가지가 있는데, 대표적으로 다음 세 가지를 들 수 있다.
(1) 멈추지 않고 주행한 경우
위 그림은 제한속도로 등속운동을 하였을 경우 에서 목표 지점에 도착하는 경우를 가정한 것이다. 축에 평행한 직선이 제한속도를 의미하며 주어진 그래프는 동일하게 에서 목표 지점에 도착하며 변속운동을 하는 자동차의 속도 그래프라고 하자.
같은 시간에 목표 지점에 도달하기 위해서는 같은 값에 대하여 함수의 적분값이 같아야 한다. 즉, 그래프의 오른쪽 끝이 파란색 직선과 같은 속도로 주행한 어떤 차량에 대하여 두 그래프 아래의 면적, 즉 이동거리는 서로 같다.
중간값의 정리에 의하여 이 차량은 제한속도를 적어도 한 번 초과했다. 그러므로 이 경우는 속도측정 없이도 과속을 적발할 수 있다.
(2) 주행도중 휴게소에 들러서 정차한 경우
① 과속여부를 직접 알 수 있는 경우
그래프 상에서 처음부터 목적지에 도착할 때까지의 이동 시간으로 적분하여 계산하면 이 경우는 과속 기준 속도로 등속운동을 한 경우 동일한 시간까지의 면적값보다 작은 값이 나오게 되어 적분값의 비교로서는 과속 여부를 판단할 수 없다. 그러나 A 또는 B 지점에서 속도를 측정한다면 과속 여부를 측정할 수 있다.
② 과속여부를 직접 알 수 없다.
그래프 상에서의 A,B 두 지점에서만 속도를 측정한다고 가정하면, A,B 두 지점에서 모두 과속을 하지 않았으므로 측정한 속도로는 과속을 적발할 수 없다. 또한 휴게소에서 정차한 시간 때문에 걸린 시간으로도 과속을 적발하기가 어렵다. 따라서 이 경우는 휴게소에서 정차한 시간을 알지 못하면 과속여부를 직접적으로 알 수 없다.
그래프 상에서 A, B 두 지점에서 속도를 그래프 상에서 A, B 두 지점에서 속도를 측정하더라도 과속 여부는 판단할 수 없다. 그러나 이 경우, 정차한 시간을 측정할 수 있다면 전체 걸린 시간에서 정차 시간을 뺀 값, 즉 순수 이동 시간을 측정할 수 있으며 이 경우 속도 그래프와 t축 사이의 넓이를 계산하면 (1)의 경우와 마찬가지로 가속 여부를 판단할 수 있게 된다. 측정하더라도 과속 여부는 판단할 수 없다.
그러나 이 경우, 정차한 시간을 측정할 수 있다면 전체 걸린 시간에서 정차 시간을 뺀 값, 즉 순수 이동 시간을 측정할 수 있으며 이 경우 속도 그래프와 t축 사이의 넓이를 계산하면 (1)의 경우와 마찬가지로 가속 여부를 판단할 수 있게 된다.
(3) 멈추지 않고 주행하였지만, 짧은 시간동안 과속을 한 경우
가. 짧은 시간동안 과속을 한 경우
전체 이동거리를 , 제한속도로 계속 주행했을 때 걸린 시간을 라고 할 때, 주행하는데 걸린 시간이 인 경우를 생각해보자.
그래프와 같이 이동한 어떤 차량에 대하여 평균값의 정리에 의하여 제한속도와 같은 속도인 지점()이 적어도 하나 존재한다.
또, 근방의 점은 제한속도를 나타내는 직선보다 아래쪽에 있고 근방의 점은 제한속도를 나타내는 직선보다 위쪽에 있다. 이를 v-t그래프로 나타내면 다음과 같다.
그러므로 중간값의 정리에 의하여 구간 에서 파란색 그래프와 제한속도를 나타내는 직선이 적어도 한 점에서 만나게 된다. 이 v-t그래프에 의하여 이 차량은 제한속도를 적어도 한 번 초과했다.
나. 극단적으로 매우 짧은 시간동안만 과속을 한 경우
이 경우는 지금까지의 방법으로 과속여부를 직접적으로 알 수는 없다. 그러나 일반적으로 과속을 하는 목적은 목적지에 빨리 도착하기 위해서이므로 순간적으로 과속을 하였다고 해도 목적지에 도달하는 시간이 빨라지지 않는 본 그래프와 같은 경우는 거의 일어나지 않는다고 볼 수 있다. 즉, 이 경우는 일어날 가능성이 생각하지 않아도 될 정도로 매우 낮다.
5. 결론 및 제언
이번 연구를 통해 고교과정으로의 완전한 증명이 불가능해 이해하기 어려웠던 중간값평균값 정리를 다양한 예를 통하여 쉽게 이해했고 중간값평균값 정리가 실생활과 밀접한 관련이 있다는 것을 찾아내었다.
그리고 현재 과속단속카메라의 단점을 중간값 정리평균값 정리를 적용하여 보완하기도 하였다. 순간속도만 측정하는 과속 단속카메라에 비해, 중간값 정리평균값 정리를 이용한 방법은 순간속도만을 측정하여 과속을 단속하는 것이 아니기 때문에 과속 단속카메라보다 비교적 정확하게 과속을 단속할 수 있다. 물론, 이 방법으로도 단속할 수 없는 경우도 있지만 단속할 수 있는 경우가 더 많다. 또, 이 방법을 사용하면 고속도로에 카메라를 현재보다 적게 설치해도 되기 때문에 경제적으로도 효율적이라고 할 수 있다.
이와 같이, 중간값 정리평균값 정리는 실생활에 널리 쓰일 뿐 아니라 과속단속에서도 효율적이라고 할 수 있다.
6. 참고문헌
(1) 김지성 외, 개념+유형 수학Ⅱ, 비유와상징, 2010
(2) 김경화, 미분적분학, 선진문화사, 2005
(3) 김홍종 외, 미분적분학1, 서울대학교출판부, 2009
(4) 김홍종 외, 미분적분학2, 서울대학교출판부, 2009
(5) 노희준 외, 숨마쿰라우데 미분적분학, 이룸이엔비, 2008
(6) 홍성대, 수학의 정석 수학Ⅱ, 성지출판(주), 2010
(7) James Stewart, 미분적분학 (Calculus), 청문각, 2009

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