[수학의이해 B] 고대 인도수학 - 수학에 끼친영향 / 3차방적식의 근의발견문제 / 피타고라스정리증명 / 방정식 의 여섯 근의 곱의 값

소개글

[수학의이해 B] 고대 인도수학 - 수학에 끼친영향 / 3차방적식의 근의발견문제 / 피타고라스정리증명 / 방정식 의 여섯 근의 곱의 값에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 고대 인도수학이 수학에 끼친 영향 중 중요한 것들에 대하여 논하여라.
2. 3차방정식의 근의 발견문제는 오늘날 카르다노에게 그 공을 돌리고 있는데 그 이유에 대하여 논하여라.
3. 피타고라스 정리를 각자 독특한 방법을 사용하여 증명하라.
4. 방정식 의 여섯 근의 곱의 값은?

본문내용

초기 인도인들이 제단을 건축하는데 기하학을 이용했다는 것과 그 때 피타고라스의 관계식을 이용했었음을 보여주고 있다.
브라마굽타와 마하비라는 삼각형의 면적을 그의 세 변으로 구하는 헤론의 공식을 주었을 뿐만 아니라 순환사변형의 면적을 구하는 공식을 주었다.
인도 기하학에서 가장 주목할 만하고 그 우수성에 있어서 독보적인 것은 '브라마굽타의 정리'인데 그것은 다음과 같다
"네 연속변이 a, b, c, d 인 순환 사변형의 두 대각선 m, n 은
2. 3차방정식의 근의 발견문제는 오늘날 카르다노에게 그 공을 돌리고 있는데 그 이유에 대하여 논하여라.
물리학자이자 수학자였던 카르다노는 다재다능한 르네상스시대의 학자였다. 그는 산술, 천문학, 물리학, 의학 등의 여러 분야에 걸쳐 많은 저작을 남겼다. 수학에 있어서 그는 특히 <위대한 술법>의 저자로서 유명하다. 이 저서는 현대 대수학의 태동을 알려주는 효시가 되었으며 16세기 가장 중요한 저서로 손꼽힌다. 그는 <위대한 술법>에서 방정식의 허수와 관련된 계산에도 관심을 보여주고 있으며, 임의의 차수의 방정식의 근의 근사값을 구하는 미완성된 방법도 다루고 있다. 앞에서 서술한 바와 같이 타르탈리아가 피오르와의 3차방정식 풀기 시합에서 승리한 후 카르다노는 타르탈리아를 설득하여 마침내 그 해법을 입수하게 되었다. 처음에 타르탈리아는 이를 거절하였으나 카르다노가 이를 공표하지 않겠다는 명세를 하고 이를 알려 주었다고 한다. 처음 몇 년 동안 카르다노도 타르탈리아와의 약속을 지켰으나 그 이후 페로가 타르탈리아 보다 먼저 그 해법을 찾았다는 것을 알고 그 해법을 그의 저서 <위대한 술법>에 발표하게 된다. 타르탈리아의 주장과는 달리 카르다노는 그의 저서에서 그 해법이 자신의 것임을 주장하지 않았으며 페로의 업적으로 타르탈리아도 독립적으로 그 해법을 발견했다고 기술했다고 한다. 한편 카르다노는 페로와 타르탈리아와는 달리 2차항을 갖는 것을 포함하여 다른 형태의 3차방정식이 있다는 것을 깨닫고 있었으며 어떻게 한 방정식이 특별한 형태로 변환되는가 하는 것을 알고 있었다. 이러한 점에서 볼 때 카르다노가 타르탈리아의 업적을 가로챘다는 이야기는 잘못 알려진 것이라 할 수 있다.
3. 피타고라스 정리를 각자 독특한 방법을 사용하여 증명하라.
1) 유클리드의 증명
유클리드 Euclid 원론'의 47번째 명제로 ‘신부의 의자’ 혹은 '목수의 정리'로 알려진 피타고라스의 정리의 증명법이다. 그림과 같이 ∠C=90° 인 직각삼각형 ABC에 대하여 세 변의 길이를 각각 한 변의 길이로 하는 정사각형 ADEB, ACHI, BFGC를 그린다. 점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발을 M, 그 연장선과 변 BE 와 만나는 점을 N이라고 하자.
이 때 □ ACHI = 2 △ ACI‥‥‥(1)
또, 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로,
△ ACI = △ ABI‥‥‥(2)
두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같으므로,
△ ABI ≡△ ADC ‥‥‥(3)
밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로, △ ADC = △ ADM ‥‥‥(4)
또, □ ADNM = 2 △ ADM ‥‥‥(5)
(1), (2), (3), (4), (5)에서 □ ACHI = □ ADNM ‥‥‥(6)
같은 방법으로 □ MNEB = □ BFGC ‥‥‥(7)
(6), (7)에서 □ ADEB = □ ACHI + □ BFGC
∴ AB²=BC²+CA²
2) 비례중항의 원리를 이용한 방법
3) 원을 이용한 증명
점 H는 반원AHB위에 있는 임의의 점이다. 그러므로 삼각형 ABH는 직각삼각형이다. 정사각형ABFD를 완성하고, 선분에 수직하게 선분EC를 긋는다.
BH2 = AB×BC
AH2 = AB×AC
□ABFD = □BFEC+□ACED
=AB×AC +AB×BC = AB(AC+BC)
= AB2 = BH2+AH2
∴
4) 접선을 이용한 증명
5) 넓이의 비를 이용한 증명
그림에서 평행사변형 HACB와 직사각형 ABED를 작도하면, 세 개의 닮은 삼각형 BEH, HDA, BAC가 만들어진다. 이 삼각형들의 넓이를 각각 x, y, z라고 놓으면 다음의 비례관계가 성립한다.
x : y： z　＝　a2 : b2 : h2
그러나 명백히 z=x+y이므로 피타고라스의 정리는 성립한다.
∴
4. 방정식 의 여섯 근의 곱의 값은?
풀이) 6차 방정식의 근을 a,b,c,d,e,f 라고 하면 이 방정식은
이라는 가정이 되고
이라는 근과 계수와의 관계를 알수 있다.
따라서, 여섯근의 곱은 3이다.
정답) 3

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수학의이해,   인도수학,   3차방정식,   피타고라스정리,   근의발견문제