고대 인도수학이 수학에 끼친영향, 3차방적식의 근의발견문제, 피타고라스정리 증명, 방정식 의 여섯 근의 곱의 값에 대한 심층적 고찰 [수학의이해]

소개글

고대 인도수학이 수학에 끼친영향, 3차방적식의 근의발견문제, 피타고라스정리 증명, 방정식 의 여섯 근의 곱의 값에 대한 심층적 고찰 [수학의이해]에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 고대 인도수학이 수학에 끼친 영향 중 중요한 것들에 대하여 논하여라.
2. 3차방정식의 근의 발견문제는 오늘날 카르다노에게 그 공을 돌리고 있는데 그 이유에 대하여 논하여라.
3. 피타고라스 정리를 각자 독특한 방법을 사용하여 증명하라.
4. 방정식 의 여섯 근의 곱의 값은?

본문내용

AB의 중점을 M이라 하고, MC의 연장선과 PQ의 교점을 R이라 하면
∠CRP = 180° - (∠RPC + ∠RCP)
= 180° - (∠CAB + ∠MCB)
= 180° - (∠CAB + ∠CBM)
= ∠ACB
= 90°
따라서 MR과 PQ는 직교한다.
삼각형 MCP의 넓이는
다른 방법으로 삼각형 MCP의 넓이를 구하면
마찬가지로 삼각형 MCQ의 넓이를 구하면
따라서
따라서
21. 코라(Tabit ibn Qorra, 826~901)의 증명 방법
메소포타미아 수학자 코라(Tabit ibn Qorra, 826~901)의 증명 방법으로 그림에서 삼각형 ABC, FLC, FMC, BED, AGH, FGE는 모두 합동이다.
따라서 오각형 ABDFH의 넓이는
따라서
22. 박부성의 아이디어
퍼즐 전문가 박부성님의 증명 방법
직각삼각형 ABC의 한 변 AC를 빗변으로 갖는 4개의 빨간 직각이등변삼각형을 만든다.
삼각형 ACG의 넓이는 2×(삼각형 AFG)
=
따라서
= 정사각형 DEHG
23. 앤니의 증명 방법
1903년 B. F. Yanney가 증명한 방법이다.
그림에서 삼각형 LKM과 ACO가 합동이므로 사각형 AOML = 사각형 ACKL
삼각형 LAE와 KCD가 합동이므로 사각형 ACKL = 사각형 ACDE
따라서 사각형 AOML = 사각형 ACDE
같은 방법으로 하면
사각형 BOMH = 사각형 BCKH = 사각형 FDKH
따라서
정사각형 ABHL = 사각형 AOML + 사각형 BOMH
= 사각형 ACDE + 사각형 FDKH
따라서
24. Joran Friberg의 증명 방법
스웨덴의 수학교수 Joran Friberg가 제시한 증명 방법으로 그림에서 AB를 한 변으로 갖는 정사각형을 그림과 같이 만들 수 있다.
따라서
25. Liu Hui(유휘, 3세기경)의 증명방법
중국 고전 수학책인 구장산술을 풀이한 Liu Hui(유휘, 3세기경)가 제시한 증명 방법
그림에서 AB를 한 변으로 갖는 정사각형의 넓이는
AC를 한 변으로 갖는 정사각형의 넓이와
BC를 한 변으로 갖는 정사각형의 넓이의 합과 같다.
따라서
26. Delboeuf의 증명 방법
출처는 1940년에 출판된 Loomis의 저서 『The Pythagorean Proposition』이다.
그림에서 AB를 한 변으로 갖는
정사각형의 넓이는
사각형 CDEF - {() + () + () + ()}
= 사각형 CDEF - {() + (1) + (2) + (3)}
따라서
27. Jury Wipper의 증명 방법
출처는 1940년에 출판된 Loomis의 저서 『The Pythagorean Proposition』이다.
그림에서 AB를 한 변으로 갖는 정사각형의 넓이는
() + () + () + ()
= () + () + (1) + {(2) + (3)}
= {() + (1) + (3)} + {() + (2)}
따라서
28. J. M. McCready의 증명 방법
출처는 1940년에 출판된 Loomis의 저서 『The Pythagorean Proposition』이다.
그림에서 AB를 한 변으로 갖는 정사각형의 넓이는
() + () + () + () + ()
= () + () + (1) + (2) + (3)
= {() + (1) + (3)} + {() + (2)}
따라서
29. Lecchio의 증명 방법
출처는 1940년에 출판된 Loomis의 저서 『The Pythagorean Proposition』이다.
그림에서 AB를 한 변으로 갖는 정사각형의 넓이는
빨간 사각형 + 노란 사각형 = 녹색 평행사변형 + 파란색 평행사변형
= 정사각형 ACDE + 정사각형 BFGC
따라서
30. Henry Boad의 증명 방법
출처는 1940년에 출판된 Loomis의 저서 『The Pythagorean Proposition』이다.
그림에서 같은 색의 사각형끼리는 서로 합동이다.
또, () + () = (), () + () = ()
따라서 AB를 한 변으로 갖는 정사각형의 넓이는
{(사각형 CDEB) + (사각형BEFG)} - {() + () + () + ()}
= {() + () + () + ()} - {() + ()}
= () + ()
따라서
31. 헤론의 공식을 이용한 증명 방법
빗변이 c인 직각삼각형의 넓이는 … ①
한편, 일 때, 헤론의 공식에 의해
①, ②에서
정리하면
∴ 따라서
32. Michelle Watkins의 증명 방법
1991년 Penguin Books에서 펴낸 Dunham의 『Journey through Genius』에 있다.
North Florida 대학생 Michelle Watkins의 증명 방법
그림과 같이 합동인 두 직각삼각형 ABC와 DEF를 생각해보자.
AB와 DE가 서로 수직이라는 것은 쉽게 알 수 있다.
이므로
따라서 삼각형 ADE의 넓이는
또다른 방법으로 삼각형 ADE의 넓이는
따라서
33. 원을 이용한 증명 방법
직각삼각형 ABC가 있을 때, C에서 AB에 수선의 발 P를 내린다.
가 모두 직각이므로 는 지름이 각각 인 원 위에 있다. 따라서 는 두 원의 교점이다. 또, ∠C가 직각이므로 는 각각 오른쪽, 왼쪽 원의 접선이다.
따라서
두 식을 변변 더하면
∴
34. 삼각형의 닮음을 이용한 증명 방법
노란 직각삼각형의 빗변 c를 반지름으로 하는 원을 그린다.
그림에서 이다.
따라서
그러므로
따라서 ∴
35. 평행사변형을 이용한 증명 방법
직각삼각형 ABC의 세 변을 각각 한 변으로 갖는 정사각형을 만들자.
C에서 DE에 내린 수선의 발을 F라 하고, D에서 CA에 내린 수선의 발을 G라 하면
삼각형 ABC, EDH, CHG는 모두 합동이다.
평행사변형 CBDH
평행사변형 ACHE
정사각형 ABDE = (빨간색 오변형) + (삼각형 EDH)
= (빨간색 오변형) + (삼각형 ABC)
= (평행사변형 CBDH) + (평행사변형 ACHE)
4. 방정식 의 여섯 근의 곱의 값은?
풀이) 6차 방정식의 근을 a,b,c,d,e,f 라고 하면 이 방정식은
이라는 가정이 되고
이라는 근과 계수와의 관계를 알수 있다.
따라서, 여섯근의 곱은 3이다.
정답) 3

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수학의이해,   인도수학,   3차방정식,   피타고라스정리,   근의발견문제