중학교 수학(1-1)

목차

1. 집합

1. 자연수의 성질

4. 정수와 유리수

6. 문자와 식

7. 일차방정식

8. 함수

본문내용

곱셈에서는 수에서의 분배법칙 를 이용하여 계산한다. 일차식과 수와의 나눗셈은 나눗셈을 곱셈으로 바꾸어 계산한다. 이를테면 와 같이 계산할 수 있다.
7. 일차방정식
등식의 성질을 이용하여 방정식 풀기
방정식 에서 양변에 5 를 더하면 이고, 이 식을 정리하면 이다. 이와 같이 등식의 성질을 이용하여 방정식을 풀 때에는 주어진 방정식을 (수)의 꼴로 고쳐서 해를 구하면 된다.
이항과 일차방정식의 뜻

(일차식) =0 의 꼴로 변형되는 방정식을 일차방정식 이라고 한다.
(결국 미지수의 차수가 1인 등식)
일차방정식의 풀이
일차방정식을 푸는 순서는 계수에 소수가 있는 방정식은 양변에 10, 100, 1000, … 등을 곱하여, 계수에 분수가 있는 방정식은 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 고친 후에 푼다. 괄호가 있으면 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다. 미지수 를 포함하는 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항한다. 양변을 정리하여 의 꼴로 고친다. 양변을 의 계수 로 나눈다.
▶▶ 보기(1) 방정식 을 풀면 다음과 같다. 우변의 를 좌변으로 이항하면
(2) 방정식 를 풀면 다음과 같다. 좌변의 1 을 우변으로, 우변의 를 좌변으로 각각 이항하여 정리하면
해가 특수한 방정식
방정식 와 같이, 식을 간단히 정리하면 의 꼴이 되는 식에서 만족하는 의 값은 무수히 많다. 즉, 해는 모든 수이다. 또, 방정식 과 같이, 식을 간단히 정리하면 의 꼴이 되는 식에서 만족하는 의 값은 없다. 즉, 해가 없다. ▶▶ 보기 방정식 는 의 꼴이므로 해는 모든 수이다. 방정식 는 의 꼴이므로 해는 모든 수이다.
일차방정식의 활용
일차방정식을 이용하여 문제를 풀 때는
1. 주어진 문제의 조건을 파악하고 구하려는 것을 미지수 x로 놓는다.
2. 등식 관계가 되는 수량을 찾아 방정식을 세운다.
3. 이 방정식을 풀어 x의 값을 구한다.
4. 그 해가 문제의 답으로 맞는지 확인한다.
▶ 시간, 거리, 속력에 관한 문제
ex) 시속 2km 의 속력으로 A 에서 B 까지 3 시간 30 분이 걸렸다면, 30 분은 시간이므로 결국 시간, 즉 시간 걸려서 A 에서 B 까지 간 거리는
(거리) (속력) (시간) 이다.
▶ 농도에 관한 문제
ex) 8% 의 소금물 이 있다. 여기에 몇 g 의 물을 넣어 의 소금물이 되게 하려고 한다. 의 물을 넣을 때 소금의 양은 이다. 따라서 120g의 물을 넣으면 된다.
▶ 과부족에 관한 문제
손해나 이익, 적다와 많다 등의 과부족 문제는 구하려는 미지수를 기준으로 -, + 기호를 사용하여 식을 세운다. 예를 들어, 남녀 학생 수를 구할 때, 남학생이 여학생보다 12 명이 많고 총 학생 수가 624 명이면 남학생의 수를 , 여학생의 수를 로 놓고 방정식을 세워 푼다.
ex) 1. 복숭아를 몇 명의 학생에게 나누어 주는데 한 학생에게 4 개씩 나누어 주면 11 개가 남고 5 개씩 나누어 주면 7 개가 부족하였다. 이 때, 학생 수를 명이라고 할 때
방정식은 이다. 방정식을 풀면 즉, 학생 수는 18명이다.
2. 우표 12 장을 사려고 하는데 100 원이 모자라서 10 장만 샀더니 140 원이 남았다. 우 표 1 장의 값을 원이라고 하면 이 성립한다.
방정식을 풀면 (원)이다.
▶ 수에 관한 문제
- 연속하는 세 자연수라고 했을 때, 일반적으로 세 수를
또는 로 놓는다. - 연속하는 세 짝수라고 했을 때 일반적으로 세 수를
또는 로 놓는다. - 연속하는 세 홀수라고 했을 때, 일반적으로 세 수를
또는 로 놓는다
ex) 1. 일의 자리의 숫자가 6 인 두 자리의 자연수가 있다. 이 자연수가 각 자리의 숫자의 합 의 4 배와 같을 때, 십의 자리의 숫자를 라고 하면
따라서 구하는 두 자리의 자연수는 36 이다.
2. 연속한 세 정수의 합이 183 일 때, 세 수를 이라 놓으면
방정식은 이다. 즉, 이므로 연속한 세 정수는 60, 61, 62 이다.
8. 함수
정비례
두 양 사이에 의 값이2배,3배,4배, … 로 될 때, 의 값이2배,3배,4배, … 로 되면 는 에 정비례한다고 한다.
반비례
두 양 사이에 의 값이2배,3배,4배, … 로 될 때, 의 값이 배, 배, 배, … 로 되면 는 에 반비례 한다고 한다.
함수의 뜻
정삼각형의 한 변의 길이는 , 그 둘레의 길이를 라고 하면, 문자 는 여러 가지로 변하고 있는 수량을 나타내게 된다. 이러한 와 같이 여러 가지로 변하는 값을 나타내는 문자를 변수라고 한다. 두 변수 에 대하여 의 값이 결정되면 이에 따라 의 값이 하나로 결정될 때, 를 의 함수라고 하고, 이것을 와 같이 나타낸다. 이를테면 는 함수이다. ▶▶ 참고함수 에서 변수 를 함수 의 변수라고도 한다. 함수 에서 변수 가 취하는 모든 값의 집합을 정의역이라 하고, 변수 가 취하는 모든 값의 집합을 공역이라고 한다. 정의역과 공역에 대하여 아무런 말이 없을 때에는 정의역과 공역을 수 전체의 집합으로 생각한다.

두 집합 X, Y에서 집합 X의 각 원소가 집합 Y의 원소에 반드시 하나씩 대응할 때, 이 대응을 집합 X에서 집합 Y로의 함수라 한다. 이 함수를 f 라고 하면 기호로 f : X →Y 와 같이 나타낸다. 집합 X를 함수 f : X →Y 의 정의역,
집합 Y를 f : X →Y의 공역이라고 한다.
함수의 간단한 표현
함수 f : X →Y에서 X의 원소 x에 대응되는 Y의 원소 y를 y=f(x)로 쓰고, 이 함수를 f : X →Y , y=f(x) 로 나타낸다.
특히, 정의역과 공역이 분명할 때에는 정의역과 공역을 생략하여 간단히 함수 'y=f(x)'로 나타낸다.
정의역과 공역
집합 에서 집합 로의 함수 에서, 즉
에서 집합 를 함수 의 정의역 , 예를 들면, 다음과 같은 함수 에서 집합 를 함수 의 공역 정의역은 이고,
이라고 한다. 공역은 이다.
함수값과 치역
함수 에서 의 값에 따라 정해지는 의 값을 에서의 함수값이라 하고, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다. 함수 에서 에서의 함수값은 에서의 함수값은 에서의 함수값은 이다. 또, 함수 에서 함수값 전체의 집합을 치역 이라고 한다.

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