수학문제 만들기 (수학 문제제작 및 풀이과정 정리)

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없음

본문내용

×32 (×), 1×2×16 (○), 1×4×8 (○) ……… 2가지뿐!
⑨ 36 : 약수(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)
= 1×1×36 (×), 1×2×18 (○), 1×3×12 (○), 1×4×9 (○), 1×6×6(×), 2×3×6 (○)
……… 4가지! 1×2×18=1×3×12=1×4×9=2×3×6에서,
ⅰ) (1×2×18), (1×4×9), (2×3×6) → 서로 다른 세 가지 수의 곱으로 나타낼 수 있 고, 겹치는 숫자는 1과 2로 두 가지뿐이다.
ⅱ) (1×3×12), (1×4×9), (2×3×6) → 서로 다른 세 가지 수의 곱으로 나타낼 수 있 고, 겹치는 숫자는 1과 3으로 두 가지뿐이다.
⇒ 따라서 세 수의 곱으로 36이 최소인 것으로 나온다.
1)
2)
(풀이2)
1) 그림에서 ○의 수가 7개이고, 세 수의 곱이 같은 경우이므로 서로 다른 약수를 최소한 7 개를 가져야 한다. 그러므로 자신을 포함한 최소한 8개 이상의 약수를 가지는 수를 조 사해보면 됨을 알 수 있다.
2) 이에 따라, 8개 이상의 약수를 가진 수를 살펴보도록 하자.
8개 이상의 약수를 가진 수는 24, 30, 36 … 이다.
ⓛ 24는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24로 8개의 약수를 가지지만 풀이 1에서 볼 수 있듯이 적 용할 수가 없다.
② 30은 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30으로 8개의 약수를 가지지만 풀이 1에서 역시 볼 수 있 듯이 맞는 짝을 찾을 수 없다.
③ 36은 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36으로 8개 이상이며, 풀이 1에서 볼 수 있듯이 적용 이 가능하다.
⇒ 그러므로 가장 작은 수는 36이고, 완성된 그림은 위의 정답과 같다.
5. 252는 앞으로 읽거나 뒤로 읽어도 수가 같다. 이를 대칭수라고 하자. ㉮와 ㉯에 대칭수를 넣어 식이 성립하도록 한다. ㉮에 들어갈 자연수를 모두 찾으시오.
《식: 1991+㉮ = ㉯》
(풀이)
1)먼저 대칭 수는 232.34543,33 등 앞에서 읽거나 뒤에서 읽어도 같은 수를 의미하자. 1991에 대칭 수 ㉮를 더해 또 다른 대칭 수 ㉯를 만족 시키는 가를 찾는 문제
2)먼저 수의 범위와 각 자리 수 내 의 받아 올림이 있는 경우와 없는 경우를 구분해서 접근해 보자.
3) 한자리수 경우 받아 올림이 있는 경우나 없는 경우나 만족 시킬 수 있는 수가 전혀 없음을 알 수 있다. 또한 1의 자리 수는 0과9를 제외한 1-8까지만 들어 올수 있음을 더불어 알 수 있다.
다섯 자리수의 경우
1991
+ABCBA 받아 올림이 없는 경우 C를 축으로 B를 만족시키는 자연수가
------------ 없음을 알 수 있고, 받아 올림이 있는 경우 최소한 B가 8이상일 경우인데 이 또한 B를 만족시키는 수가 불가능함을 알 수 있다. 이후 그 이상의 자릿수도 이와 마찬가지로 수의 균형을 잃게 되어 수의 범위는 두 자리 수-네 자리수로 한정됨을 알 수 있다.
4) 두 자리 수 경우
1991 받아 올림이 없는 경우 만족시키는 자연수가 없고, 받아 올림이 있는 경우
+ BA 1991은 2**2로 정리 일 자리 수는 1 대칭 수이므로 십 자리 수는1 ---11
------
5) 세 자리 수 경우
1991 받아 올림이 없는 경우 수의 균형상 만족하는 수가 전혀 없고
+ ABA 받아 올림이 있는 경우 이 또한 2**2로 정리 일의 자리수가1 따라서 대칭 상 백------- 의 1*1의 형태가 됨을 알 수 있다0-9까지 대입해보면 --------121
6) 네 자리수의 경우
1991 받아 올림이 없는 경우 1001,2002,3003,4004,5005,6006,7007,8008
+ABBA 받아 올림이 있는 경우 대칭 수 ㉯의 백의자리D는 십의자리D보다 반드시 ------- 1이 커지므로 만족하는 수가 없음을 알 수 있다.
CDDC
===이상으로 1991에 만족하는 대칭 수 ㉮는
11,121,1001,2002,3003,4004,5005,6006,7007,8008 총 10개의 자연수임을 알 수 있다.
6. 정사각형이 16개로 만들어진 오른쪽 도형이 선대칭 도형이 되도록 4개의 정사각형에 색칠하는 방법은 모두 몇 가지인가?
(풀이)
1) 먼저 선대칭 도형이란 직선을 대칭축으로 하여 접었을 때, 완전히 겹치는 도형을 말한다. 이 도형에서는 대칭축이 가로와 세로, 이렇게 2개가 있다.
2) 먼저 가로선을 대칭축으로 하여 선대칭도형이 되는 4개의 정사각형에 색을 칠하는 방법은 28가지가 있다. 대칭축의 위쪽에서 두개의 정사각형에 색을 칠하면 대칭이 되는 아래쪽의 정사각형에도 대칭부분에 똑같이 색이 칠해져야 하므로 위쪽에서 2개의 정사각형을 칠하는 방법만 생각해도 무방하다. 대칭축 위쪽에서 2개의 정사각형에 색을 칠하는 방법은 (7+6+5+4+3+2+1)로 총 28가지가 된다.
3) 다음은 세로선을 대칭축으로 하여 4개의 정사각형을 칠하는 방법은 대칭축이 지나는 도형들을 포함한 것과 포함하지 않은 것으로 나누어 생각해보면 된다. 먼저 대칭축이 지나는 정사각형들을 포함하지 않고, 4개의 정사각형에 칠하는 방법은 위의 방법과 마찬가지로 계산하면 (5+4+3+2+1)로 총 15가지가 된다.
4) 대칭축이 지나는 정사각형을 포함하여 생각해 본다면, 대칭축을 지나는 정사각형을 홀수 개에 칠하는 방법은 있을 수 없으므로 2개 또는 4개 모두의 정사각형에 색을 칠하는 방법이 있다. 먼저 대칭축이 지나는 정사각형을 2개 포함하면서 4개의 정사각형에 색을 칠하여 선대칭이 되는 방법은, 대칭축이 지나는 정사각형 2개를 칠하는 방법 6가지 × 나머지 정사각형 2개를 칠하는 방법 6가지, 이렇게 해서 총 36가지가 된다.
5) 그리고 대칭축이 지나는 정사각형 4개에 모두 색을 칠하는 방법이 있다. 그러므로 선대칭 도형이 되도록 4개의 정사각형에 색을 칠하는 방법은 28+15+36+1=80, 80가지가 된다.
6) 그러나 세로 대칭축의 선대칭도형과 가로 대칭축의 선대칭도형에 모두 포함되는 경우가 있기 때문에 그 4가지 경우를 제외하여야 한다. 그러므로 80-4= 76, 즉 정답은 76가지가 된다.

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